Menyelesaikan SPLTV Metode Eliminasi

Kita telah mempelajari bagaimana "Cara Mengerjakan Soal SPLDV" dimana himpunan penyelesaian dari SPLDV merupakan pasangan terurut (x,y) yang memenuhi dua persamaan yang diberikan.

Prinsipnya sama untuk menyelesaian Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel.

Bentuk umum SPLTV adalah:

$$\begin{align} a_1x+b_1y+c_1z=p \\ a_2x+b_2y+c_2z =q \\ a_3x+b_3y+c_3z =r \end{align}$$

dimana $a_i $, $b_i $, $c_i $ untuk i=1, 2, 3 adalah koefisien dari masing-masing variabel $x $, $y $, dan $z $ sedangkan $p$, $q $, dan $r $ adalah konstanta.

Penyelesaian dari SPLTV adalah bilangan terurut (x, y, z) yang memenuhi ketiga persamaan di atas.

Untuk mencari nilai x, y, dan z yang memenuhi, kita bisa menggunakan metode substitusi, eliminasi, dan determinan.

Contoh soal:

Tentukan penyelesaian dari SPL berikut ini!

$\begin{align} x+2y+z=3 \\ 3x-y-3z =-1 \\ 2x+3y+z =4 \end{align}$

Penyelesaian:

Kita perhatikan persamaan-persamaannya, manakah dua pasang persamaan yang lebih sederhana untuk lebih dahulu diproses dengan metode substitusi/eliminasi untuk menghasilkan sistem persamaan baru yang merupakan SPLDV.

Kita bisa mengambil pers. 1 & 2, pers. 1 & 3, atau pers. 2 & 3 untuk diproses lebih dulu.

Dari pers. 1 dan 2, kita eliminasi z sehingga diperoleh persamaan yang ke-4.

$\begin{align} x+2y+z &= 3 \ \ \ \ \ | ×3 \\ 3x-y-3z &=-1 \ \ |×1 \\ \hline  3x+6y+3z &= 9 \\ 3x-y-3z &=-1   \ \ \ + \\ \hline 6x+5y+0z &= 8 \\ \Leftrightarrow 6x+5y &=8 \end{align}$

(Persamaan 4)

Dari pers. 1 dan 3, kita eliminasi z lagi sehingga diperoleh persamaan ke-5.

$\begin{align} x+2y+z &= 3  \\ 2x+3y+z &=4 \ \ \ - \\ \hline -x-y+0z &= -1 \\ \Leftrightarrow x+y &=1  \end{align}$

(Persamaan 5)

SPLDV yang terbentuk dari pers. 4 dan 5:

$\begin{align} 6x+5y &=8 \ \ \ |×1 \\
x+y &=1 \ \ \ |×5 \\ \hline  6x+5y &=8 \\ 5x+5y &=5  \ \ \ - \\ \hline x +0y &= 3 \\ \Leftrightarrow x &=3 \end{align} $

Nilai x=3 disubstitusi ke salah satu pers. 4 atau 5. Kita pilih substitusi ke pers. 5 sebagai berikut.

$\begin{align} x+y &=1 \\ \Leftrightarrow (3)+y &=1 \\ \Leftrightarrow y &= 1-3 \\ \Leftrightarrow y&=-2 \end{align} $

Nilai x=3 dan y=-2 disubstitusikan ke salah satu persamaan 1, 2, atau 3. Kita pilih persamaan 1 sebagai berikut.

$\begin{align} x+2y+z &=3 \\ \Leftrightarrow (3)+2 (-2)+z &=3 \\ \Leftrightarrow -1 +z &=3 \\  \Leftrightarrow z &=3+1 \\ \Leftrightarrow z &= 4 \end{align} $

Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah $(x, y, z) = (3, -2, 4)$

Demikianlah bagaimana "Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)", semoga bermanfaat.

Buka juga