Menentukan Persamaan Lingkaran, Pusat, dan Jari-Jarinya

Persamaan Lingkaran merupakan materi matematika kelas 11 - Di pembahasan "Sistem Koordinat 4 (Empat) Bidang", ada pembahasan tentang "Persamaan Lingkaran".

Sebuah lingkaran pada kajian geometri, tentu tidak dapat ditentukan persamaannya, hanya bisa ditentukan besaran-besaran seperti panjang jari-jari, keliling, dan luas lingkaran.

Setelah dikaitkan dengan kajian Aljabar, diletakkan pada Koordinat 4 Bidang, barulah bisa ditentukan persamaannya.

Inilah langkah awal kita untuk dapat mengerjakan soal-soal menentukan persamaan lingkaran, pusat, dan jari-jarinya dengan mengetahui darimana diperoleh perasamaan lingkaran tersebut.

Untuk dapat menentukan persamaan lingkaran, setelah mengetahui bagaimana membentuk perasamaan lingkaran, adalah harus mengetahui letak titik pusat lingkaran itu pada koordinat Empat Bidang (Kartesius) dan mengetahui panjang jari-jarinya.

Pengertian dan Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat) pada bidang datar.

Lingkaran yang berjari-jari r dan pusat (a,b) mempunyai persamaan:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Bentuk ini disebut bentuk Persamaan Baku Lingkaran yang merupakan dasar dari adanya jenis persamaan yang lain seperti dijelaskan berikut ini.

Jika (a,b)=(0,0) maka bentuk baku di atas akan menjadi:

$x^2+y^2=r^2$ 

yang disebut sebagai bentuk Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan jari-jari r.

Jika bentuk baku tersebut diuraikan maka akan menjadi:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Yang disebut sebagai Bentuk Umum Persamaan Lingkaran yang berpusat pada $(-A/2, \ -B/2) $ dengan jari-jari $r=\sqrt{ \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C}$

Contoh:

Soal 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari 5!

Jawaban:

$\begin{align} x^2+y^2 &=r^2 \\ \Leftrightarrow  x^2+y^2 &= 5^2 \\ \Leftrightarrow x^2+y^2=25 \end{align}$

Soal 2. Tentukan peraamaan lingkaran yang berpusat di O dan melalui titik A(-3,5)!

Jawaban:

Tentukan jari-jarinya dengan menghitung jarak titik A ke titik O, yaitu $\sqrt{(-3)^2+(5)^2}= \sqrt{34}$.

Karena itu, persamaan lingkarannya adalah:

$x^2+y^2=r^2 \Leftrightarrow x^2+y^2=34$

Soal 3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O serta menyinggung garis g: 4x-3y+10=0

Jawaban:

Tentukan jari-jarinya, yaitu menghitung jarak titik O(0,0) ke garis g, yaitu:

$\begin{align} r &= \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\   &= \frac{|4(0)+3(0)+10|}{\sqrt{4^2+3^2}} \\ &= \frac{10}{5}=2 \end{align}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $x^2+y^2=4$

Soal 4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada A(2, 3) dan jari-jari 5!

Jawaban:

Uraikan $(x-2)^2+(y-3)^2=5^2$.

Soal 5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan $(x+1)^2+(y+2)^2=9$!

Jawaban:

Ubah ke persamaan baku, sehingga $(x-(-1))^2+(y-(-2))^2=3^2$. Jadi, pusat lingkaran itu adalah $(-1, -2)$ dan jari-jari r=3.

Soal 6. Tentukan pusat dan jari-jari untuk lingkaran dengan persamaan:

$2x^2+2y^2-2x+6y-3=0$

Jawaban:

Ubah ke bentuk umum:

$x^2+y^2-x+3y- \frac{3}{2}=0$

sehingga dapat ditetapkan $A=-1$, B=3, dan $C=- \frac{3}{2}$. Oleh karena itu, diperoleh

Pusat lingkaran:

$(\frac{-(-1)}{2}, \frac{-3}{2}) = (\frac{-1}{2}, - \frac{3}{2}) $

Jari-jari:

$\begin{align} r &= \sqrt{ \frac{(-1)^2}{4}+ \frac{(3)^2}{4} - (- \frac{3}{2})} \\ &= \sqrt{ \frac{1}{4} + \frac{9}{4} + \frac{6}{4}} \\ & = \sqrt{4} \\ &=2 \end{align}$

Demikian bagaimana "Menentukan Persamaan Lingkaran, Pusat, dan Jari-Jarinya", semoga bermanfaat.