Aljabar Kelas 7

Aljabar Kelas 7 - Aljabar di Matematika Kelas 7 mempelajari bentuk aljabar. Kita akan membahas tentang:

  • Pengertian bentuk aljabar
  • Operasi pada bentuk aljabar.
  • Memfaktorkan bentuk aljabar.

Pengertian Bentuk Aljabar

Aljabar merupakan cabang matematika yang menggunakan variabel dalam penyelesaian masalah. Variabel sendiri merupakan ekspresi yang mewakili anggota dari suatu himpunan.

Misalnya himpunan bilangan. Variabel disimbolkan dengan huruf kecil seperti a,b, c, x, y, z, dan sebagainya sebagai simbol yang mewakili suatu anggota himpunan bilangan.

Simbol berupa huruf tersebut dapat mewakili suatu bilangan, sejumlah bilangan, atau bahkan tak hingga bilangan, baik bilangan itu diketahui ataukah belum.

Apa yang dimaksud dengan bentuk aljabar?

Bentuk aljabar merupakan bentuk yang melibatkan variabel dalam operasi dasar bilangan. Misalnya $2x^2+1$ dimana huruf x pada bentuk aljabar disebut variabel, angka yang menempel dengan variabel disebut koefisien, sedangkan angka yang tidak memiliki variabel disebut konstanta.

Operasi pada Bentuk Aljabar

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar hanya dapat dilakukan untuk suku-suku yang sejenis yaitu suku-suku yang memiliki variabel yang sama dengan pangkat yang sama.

Misalkan $2xy$ dengan $3xy$ bisa dijumlah dan dikurangkan karena merupakan suku-suku yang sejenis sedangkan $2x^2y$ tidak bisa dijumlahkan dan dikurangkan dengan $xy^2$ karena merupakan suku-suku yang tidak sejenis.

Oleh karena itu, untuk dapat mengerjakan operasi bentuk aljabar berupa penjumlahan atau pengurangan kita harus mengetahui suku-suku yang sejenis dan suku-suku yang tidak sejenis.

Sedangkan untuk operasi perkalian dan pembagian pada bentuk aljabar cukup menjumlahkan atau mengurangkan pangkatnya untuk variabel yang sama, disini kita harus tahu bagaimana cara menerapkan sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan berpangkat.

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku yang sejenis, kita lakukan hanya dengan menjumlahkan atau mengurangkan koefisiennya saja.

Contoh:

$2xy+3xy=5xy \\ 2xy-3xy=-xy$

Perhatikan bahwa $2+3=5$ dan $2-3=-1$.

Sedangkan operasi perkalian dan pembagian contohnya sebagai berikut.

$\begin{align} (2xy)(x^2y) &= 2x^{1+2}y^{1+1} \\ &= 2x^3y^2 \end{align}$

$\begin{align} \frac{2xy}{x^2y} &= 2. \frac{x}{x^2}. \frac{y}{y} \\ &=2.x^{1-2}y^{1-1} \\ &=2x^{-1}y^0 \\ &=2. \frac{1}{x}.1 \\ &=\frac{2}{x} \end{align}$ 

Setelah sudah mampu mengerjakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian antara satu suku dengan suku yang lainnya. Maka, soal-soal yang menggabungkan ke-empat operasi tersebut, dengan kata lain operasi hitung campuran pada bentuk aljabar, kita kerjakan seperti mengerjakan operasi hitung campuran pada bilangan pada umumnya.

Sebagai tambahan, pada bentuk aljabar dipisahkan oleh operasi penjumlahan. Sehingga, $2xy^2+6x^2y^2-xy-3x^2y$ memiliki empat suku yang masing-masing suku tersebut adalah $2xy^2$, $6x^2y^2$, $-xy$, dan $-3x^2y$.

Sedangkan faktor pada bentuk aljabar dipisahkan oleh perkalian.

Contohnya bentuk aljabar $(2xy-x)(y+3xy)$ terdiri dari dua faktor yaitu $(2xy-x)$ dan $(y+3xy)$.

Jika kita menjabarkan $(2xy-x)(y+3xy)$ yaitu mengalikan $(2xy-x)$ dengan $(y+3xy)$ maka hasil perkalian dari dua suku dengan dua suku tersebut adalah $2xy^2+6x^2y^2-xy-3x^2y$.

Perkalian dua suku dengan dua suku pada bentuk aljabar dilakukan seperti cara berikut ini.

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

Sehingga,

$\begin{align} (2xy-x)(y+3xy) &= 2xy^3+6x^2y^2-xy-3x^2y \end{align}$

Sedangkan merubah dari bentuk sebaliknya yakni $2xy^2+6x^2y^2-xy-3x^2y=(2xy-x)(y+3xy)$ disebut dengan istilah memfaktorkan.

Memfaktorkan Bentuk Aljabar

Memfaktorkan bentuk aljabar ialah merubah dari penjumlahan suku-suku aljabar menjadi perkalian suku-suku aljabar.

Pada pembahasan ini, kita akan membahas faktorisasi dengan Hukum Distributif, faktorisasi bentuk $x^2+2xy+y^2$, faktorisasi bentuk $x^2-2xy+y^2$, faktorisasi bentuk Selisi Dua Kuadrat, faktorisasi bentuk $x^2+bx+c$ dan faktorisasi bentuk $ax^2+bx+c$ dengan $a \neq 1$.

Kita mulai dengan membahas faktorisasi dengan Hukum Distributif berikut ini.

Faktorisasi dengan Hukum Distributif

Masih ingat Hukum Distributif operasi perkalian terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan, kan?

Misalkan $a$, $b$, dan $c$ bilangan real, berlaku Hukum Distributif sebagai berikut.

$a(b+c)=ab+ac$

$a(b-c)=ab-ac$

Perhatikan dari arah sebaliknya, ruas kanannya $ab+ac$ sama dengan $a(b+c)$ dan $ab-ac$ sama dengan $a(b-c)$, proses dari kanan menjadi ruas kiri, inilah yang disebut memfaktorkan dengan Hukum Distributif.

Proses memfaktorkan dengan hukum distributif dapat dilakukan dengan langkah sebagai berikut.

Pertama, tentukan faktor persekutuan dari suku-suku aljabar tersebut.

Kedua, keluarkan faktor tersebut, kemudian buat dalam kurung di samping kanan faktor tersebut.

Ketiga, isi dalam kurung dengan menerapkan Hukum Distributif.

Contoh soal: Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini!

  1. $3x+9$
  2. $2x^2-x$
  3. $x^3-2x^2$
  4. $2x^4y+xy^2$
  5. $6x^4-3x^2$
  6. $6x^4-3x^2+2x$

Jawab:

1. $3x+9=3(x+3)$

2. $2x^2-x=x(2x-1)$

3. $x^3-2x^2=x^2(x-2)$

4. $2x^4y+xy^2=xy(2x^3+y)$

5. $6x^4-3x^2=3x^2(2x^2-1)$

6. $6x^4-3x^2+2x=x(6x^3-3x+2)$

Penjelasan:

Untuk soal no. 1, faktor persekutuan dari $3x$ dan 9 adalah 3; tulis $3x+9=3(\ \ \ \ \ \ )$; 3 dikali berapa hasilnya 3x, jawabannya adalah $x$ sehingga $3x+9=3(x \ \ \ \ \ \ )$; 3 kali berapa hasilnya 9, jawabannya adalah 3 sehingga $3x+9=3(x+3)$.

Jadi, pemfaktoran dari $3x+9$ adalah $3(x+3)$.

Untuk soal no. 4, faktor persekutuan dari $2x^4y$ dan $xy^2$ adalah adalah xy; tulis $2x^4y+xy^2=xy(\ \ \ \ \ \ )$; $xy$ dikali berapa hasilnya $2x^4y$, jawabannya adalah $2x^3$ sehingga $2x^4y+xy^2=xy(2x^3 \ \ \ \ \ \ )$; $xy$ kali berapa hasilnya $xy^2$, jawabannya adalah $y$ sehingga $2x^4y+xy^2=xy(2x^3+y)$.

Jadi, pemfaktoran dari $2x^4y+xy^2$ adalah $xy(2x^3+y)$.Begitu juga untuk nomor yang lain.

Faktorisasi Bentuk $x^2+2xy+y^2$

Bentuk $x^2+2xy+y^2$ tidak bisa difaktorkan dengan Hukum Distributif secara langsung, kecuali jika bentuknya dirubah dulu menjadi $x^2+xy+xy+y^2$.

Perhatikan cara memfaktorkan bentuk $x^2+2xy+y^2$ berikut ini, yang di dalam prosesnya menggunakan faktorisasi dengan Hukum Distributif.

$\begin{align} x^2+2xy+y^2 &=x^2+xy+xy+y^2 \\ &=x(x+y)+y(x+y) \\ &= (x+y)(x+y) \\ &=(x+y)^2 \end{align} $

Faktorisasi Bentuk $x^2-2xy+y^2$

Karena bentuk $x^2-2xy+y^2$ dan bentuk $x^2+2xy+y^2$ yang membedakan hanyalah pada $\pm 2xy$, maka bentuk $x^2-2xy+y^2$ difaktorkan dengan cara serupa sbb.

$\begin{align} x^2-2xy+y^2 &=x^2-xy-xy+y^2 \\ &=x(x-y)-y(x-y) \\ &= (x-y)(x+y) \end{align} $

Faktorisasi Bentuk $x^2+bx+c$

Bentuk $x^2+bx+c$ dapat difaktorkan menjadi $(x-m)(x-n)$ dimana,

$m+n=-b$ 

$m \times n=c$.

Untuk menunjukkannya, silahkan jabarkan $(x-m)(x-n)$.

Untuk menjabarkan $(x-m)(x-n)$ menjadi $x^2-(m+n)x+mn$. Perhatikan contoh soal berikut ini!

Contoh soal: Faktorkanlah $x^2+4x-5$ (a=1, b=4, c=5)

Jawab:

Dalam penyelesaian contoh soal tersebut, $m=-5$ dan $n=1$ karena,

$\begin{align} -5+1&=-b=-4 \\ –5 \times 1&=c=-5 \end{align}$

sehingga $\begin{align} x^2+4x-5 &=(x-(-5))(x-1) \\ &= (x+5)(x-1) \end{align}$

Faktorisasi Bentuk $ax^2+bx+c$

Bentuk $ax^2+bx+c$ dapat difaktorkan menjadi $\frac{1}{a} (ax-m)(ax-n)$ dimana,

$m+n=-b$ 

$m \times n=ac$.

Contoh soal:

Faktorkanlah $2x^2-10x+12$ (a=2, b=-10, c=12)

Jawab:

Dalam penyelesaian contoh soal tersebut, $m=4$ dan $n=6$ karena,

$\begin{align} 4+6 &=-b=-(-10)=10 \\ 4 \times 6 &=ac=2 \times 12=24 \end{align}$

sehingga $\begin{align} 2x^2-10x+12 &=\frac{1}{2}(2x-4)(2x-6) \end{align}$

Ok demikian pembahasan tentang bentuk aljabar yang saya sadur secara tidak lengkap dari Buku Belajar Matematika dari Dasar, semoga bermanfaat.

Posting Komentar untuk "Aljabar Kelas 7"


Jangan Lewatkan Kaos Matematika Keren & Unik di👇



Dapatkan panduan Belajar Matematika dari Nol GRATIS di👇