Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat (PK) adalah nilai $x$ yang menyebabkan persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ berniali benar.

Dengan kata lain, akar-akar PK adalah himpunan penyelesaian dari PK $ax^2+bx+c=0$ yang terdiri dari $x_1$ dan $x_2$.

Misalkan, akar-akar dari PK $x^2+4x-5=0$ adalah $x_1=1$ dan $x_2=–5$ karena jika kita masukan nilai masing-masing tersebut ke PK $x^2+4x-5=0$ akan bernilai benar:

$\begin{align} (1)^2+4(1)-5 &=1+4-5 \\ &=0 \end{align}$

$\begin{align} (-5)^2+4(-5)-5 &=25-20-5 \\ &=0 \end{align}$

Pada tulisan ini, kita akan membahas jenis akar-akar persamaan kuadrat, jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, contoh-contoh soal yang berhubungan dengan keduanya beserta penyelesaiannya.

Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Apabila menggunakan rumus, bentuk umum persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ memiliki akar-akar $x_{1;2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Perhatikan nilai $D=b^2-4ac$, nilai ini disebut diskriminan yang akan digunakan untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat:

1. Jika $D>0$ maka PK memiliki dua akar nyata yang berbeda yaitu $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_1 \neq x_2$.
2. Jika $D=0$ maka PK memiliki akar nyata kembar yaitu $x_1=x_2$.
3. Jika $D<0$ maka PK tidak memiliki akar yang nyata (akarnya khayal).

Contoh soal:

Tentukan jenis akar persamaan $x^2-7x+12=0$

Jawab:

Dari persamaan $x^2-7x+12=0$, diketahui a=1, b=-7, c=12 sehingga

$\begin{align} D &=b^2-4ac \\ &=(-7)^2-4(1)(12) \\ &=49-48 \\ &=1 \end{align}$

Karena D>0 maka akar-akarnya nyata.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika $ax^2+bx+c=0$ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$, maka berlaku:

1. $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$

2. $x_1.x_2= \frac{c}{a}$

3. $x_1-x_2= \frac{ \sqrt{D}}{a}$

Contoh soal:

Diketahui PK $x^2+x-12=0$. Tentukan jumlah, selisih, dan hasil kali akar-akar PK tersebut!

Jawab:

$\begin{align} x_1+x_2 &=\frac{-b}{a} \\ &=\frac{-1}{1} \\ &=-1 \end{align}$

$\begin{align} x_1 . x_2 &=\frac{c}{a} \\ &=\frac{-12}{1} \\ &=-12 \end{align}$

$\begin{align} x_1-x_2 &=\frac{\sqrt{D}}{a} \\ &=\frac{\sqrt{1^2-4(1)(-12)}}{1} \\ &=\sqrt{1+48} \\ &=\sqrt{49} \\ &=\pm 7 \end{align}$

Catatan:

1. Syarat agar PK mempunyai dua akar positif: a) $D \ge 0$ b) $\frac{-b}{a} \ge 0$ c) $\frac{c}{a} \ge 0$.

2. Syarat agar PK mempunyai dua akar negatif: a) $D \ge 0$ b) $\frac{-b}{a} < 0$ c) $\frac{c}{a} < 0$

Contoh-contoh Soal

1. Persamaan kuadrat $(p-2)x^2-2px+2p-7=0$ mempunyai dua akar saling berkebalikan. Nilai p adalah… (UN 2008/2009)

Jawab:

$\begin{align} x_1. \frac{1}{x_1} &=\frac{2p-7}{p-2} \\ \Leftrightarrow 1 &= \frac{2p-7}{p-2} \\ \Leftrightarrow p-2 &=2p-7 \\ \Leftrightarrow p &=5 \end{align}$

2. Akar-akar persamaan $x^2+(2a-3)x+18=0$ adalah p dan q. Jika p=2q untuk p>0, q>0 makanilai a-1 adalah… (UN 2008/2009)

Jawab:

$\begin{align} pq &= \frac{18}{1} \\ \Leftrightarrow (2q)q &=18 \\ \Leftrightarrow q^2 &=9 \rightarrow q=3 \rightarrow p=2(3)=6  \end{align}$

$\begin{align} p+q &= \frac{-2a+3}{1} \\ \Leftrightarrow 3+6 &=-2a+3 \\ \Leftrightarrow a &=-3  \end{align}$.

Jadi, a-1=-3-1=-4.

3. Grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+2  \sqrt{2}x+(a-1); \ \ a \neq 0$ memotong sumbu X di dua titik berbeda. Batas-batas nilai a yang memenuhi adalah... (UN 2010/2011)

Jawab:

Grafik fungsi f(x) memotong sumbu X saat f(x)=0 sehingga dua titik berbeda tersebut selain disebut titik potong pada sumbu X juga merupakan akar-akar PK 

$ax^2+2  \sqrt{2}x+(a-1)=0$. Karena itu nilai D>0 sehingga

$\begin{align} b^2-4ac &>0 \\ (2\sqrt{2})^2-4(a)(a-1) &>0 \\ 8-4(a^2-a) &>0 \\ -4a^2+4a+8 &>0 \\ 2a^2-2a-4 &<0 \\ (a-2)(2a+2) &<0 \end{align}$

$a-2<0 \\ a<2$ atau $2a+2 >0 \\ a> -1$

Jadi, $-1<a<2$