Bukti Tidak Ada Bilangan Rasional r sehingga r^2=2

Kita akan buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional r sehingga $r^2=2$, yang berarti bahwa $r=\sqrt{2}$ bilangan tak-rasional.

Kita gunakan metode pembuktian tidak langsung dengan menggunakan kaidah Reducrio ad absurdum. Jika belum tahu bagaimana metode pembuktian dalam matematika, silahkan bisa dibaca terlebih dahulu.

Tidak ada bilang rasional r sehingga $r^2=2$

Bukti:

Andaikan ada r bilangan rasional sehingga $r^2=2$ maka r dapat dinyatakan dalam bentuk pembagian dua bilangan bulat p dan q yang saling relatif prima dimana $\frac{p}{q}=r$ dengan $q \neq 0$. Oleh karena itu, kita punyai $\frac{p^2}{q^2}=2$

Pandang $p^2=2q^2$, yang berarti $p^2$ bisa dibagi 2 atau $p^2$ bilangan genap. Anggap kita telah membuktikan bahwa "jika $p^2$ genap maka $p$ genap" maka kita punyai $p=2k$ sehingga $p^2=4k^2$ untuk suatu k bulangan asli.

Sekarang perhatikan bahwa dari $p^2=2q^2 $ maka $4k^2=2q^2$ yang ekuivalen dengan $q^2=2k^2$, yang berarti q juga merupakan bilangan genap.

Hal ini bertentangan dengan pengandaian kita diawal bahwa p dan q saling relatif prima (fpb dari p dan q adalah 1), karena jika p dan q bilangan genap maka minimal fpb dari p dan q adala 2.

Oleh karena itu, kita simpulkan bahwa tidak ada r bilangan rasional sehingga $r^2=2$