Belajar Matematika dan Bisnis Online

IXL Math On IXL, math is more than just numbers. With unlimited questions, engaging item types, and real-world scenarios, IXL helps learners experience math at its most mesmerizing! Pre-K skills Represent numbers - up to 5 Inside and outside Classify shapes by color Long and short Wide and narrow See all 77 pre-K skills Kindergarten skills Fewer, more, and same Read clocks and write times Seasons Count money - pennies through dimes Shapes of everyday objects I See all 182 kindergarten skills First-grade skills Counting tens and ones - up to 99 Hundred chart Subtraction facts - numbers up to 10 Read a thermometer Measure using an inch ruler See all 210 first-grade skills Second-grade skills Counting patterns - up to 1,000 Greatest and least - word problems - up to 1,000 Compare clocks Create pictographs II Which customary unit of volume is appropriate? See all 287 second-grade skills Third-grade skills Convert between standard and expanded form Count equal groups Estimate sums Show fractions: area models Find equivalent fractions using area models See all 384 third-grade skills Fourth-grade skills Addition: fill in the missing digits Divide larger numbers by 1-digit numbers: complete the table Objects on a coordinate plane Circle graphs Place values in decimal numbers See all 340 fourth-grade skills Fifth-grade skills Least common multiple Multiply fractions by whole numbers: word problems Sale prices Find start and end times: word problems Parts of a circle See all 347 fifth-grade skills Sixth-grade skills Compare temperatures above and below zero Which is the better coupon? Evaluate variable expressions with whole numbers Classify quadrilaterals Create double bar graphs See all 321 sixth-grade skills Seventh-grade skills Solve percent equations Arithmetic sequences Evaluate multi-variable expressions Identify linear and nonlinear functions Pythagorean theorem: word problems See all 289 seventh-grade skills Eighth-grade skills Write variable expressions for arithmetic sequences Add and subtract polynomials using algebra tiles Add polynomials to find perimeter Multiply and divide monomials Scatter plots See all 317 eighth-grade skills Algebra 1 skills Write and solve inverse variation equations Write an equation for a parallel or perpendicular line Solve a system of equations by graphing Solve a system of equations using substitution Rational functions: asymptotes and excluded values See all 309 Algebra 1 skills Geometry skills Triangle Angle-Sum Theorem Proving a quadrilateral is a parallelogram Properties of kites Similarity of circles Perimeter of polygons with an inscribed circle See all 221 Geometry skills Algebra 2 skills Multiply complex numbers Product property of logarithms Find the vertex of a parabola Write equations of ellipses in standard form from graphs Reference angles See all 322 Algebra 2 skills Precalculus skills Identify inverse functions Graph sine functions Convert complex numbers between rectangular and polar form Find probabilities using two-way frequency tables Use normal distributions to approximate binomial distributions See all 261 Precalculus skills Calculus skills Find limits using the division law Determine end behavior of polynomial and rational functions Determine continuity on an interval using graphs Find derivatives of polynomials Find derivatives using the chain rule I See all 97 Calculus skills Mathematics is a persistent source of difficulty and frustration for students of all ages. Elementary students spend years trying to master arithmetic. Teens struggle with the shift to algebra and its use of variables. High-school students must face diverse challenges like geometry, more advanced algebra, and calculus. Even parents experience frustration as they struggle to recall and apply concepts they had mastered as young adults, rendering them incapable of providing math help for their children. Whether you need top Math tutors in Boston, Math tutors in Detroit, or top Math tutors in Dallas Fort Worth, working with a pro may take your studies to the next level. The truth is, everyone struggles with math at one time or another. Students, especially at the high-school level, have to balance challenging coursework with the demands of other courses and extracurricular activities. Illness and school absences can leave gaps in a student’s instruction that lead to confusion as more advanced material is presented. Certain concepts that are notoriously difficult to master, such as fractions and the basics of algebra, persist throughout high school courses, and if not mastered upon introduction, can hinder a student’s ability to learn new concepts in later courses. Even students confident in their math skills eventually find a course or concept incomprehensible as they reach advanced math classes. In other words, no matter what your age or ability, everyone eventually needs help with math. Varsity Tutors offers resources like free Math Diagnostic Tests to help with your self-paced study, or you may want to consider a Math tutor. Varsity Tutors is happy to offer free practice tests for all levels of math education. Students can take any one of hundreds of our tests that range from basic arithmetic to calculus. These tests are conveniently organized by course name (e.g. Algebra 1, Geometry, etc.) and concept (e.g. “How to graph a function”). Students can select specific concepts with which they are struggling or concepts that they are trying to master. Students can even use these concept-based practice tests to identify areas in which they may not have realized they were struggling. For instance, if a student is struggling with his or her Algebra 1 course, he or she can take practice tests based on broad algebra concepts such as equations and graphing and continue to practice in more specific subcategories of these concepts. In this way, students can more clearly differentiate between those areas that they fully understand and those that could use additional practice. Better yet, each question comes with a full written explanation. This allows students to not only see what they did wrong, but provides the student with step-by-step instructions on how to solve each problem. In addition to the Math Practice Tests and Math tutoring, you may also want to consider taking some of our Math Flashcards. Varsity Tutors’ Learning Tools also offer dozens of Full-Length Math Practice Tests. The longer format of the complete practice tests can help students track and work on their problem-solving pace and endurance. Just as on the results pages for the concept-specific practice tests, the results for these longer tests also include a variety of scoring metrics, detailed explanations of the correct answers, and links to more practice available through other Learning Tools. These free online Practice Tests can assist any student in creating a personalized mathematics review plan, too, as the results show which of the concepts they already understand and which concepts may need additional review. After reviewing the skills that need work, students can take another Full-Length Math Practice Test to check their progress and further refine their study plan. Once a student creates a Learning Tools account, they can also track their progress on all of their tests. Students can view their improvement as they begin getting more difficult questions correct or move on to more advanced concepts. They can also share their results with tutors and parents, or even their math teacher. Create a Varsity Tutors Learning Tools account today, and get started on a path to better understanding math!

Cara Membuktikan dalam Matematika

Sebagai pelajar, hanya ada dua hal kemampuan yang dilatih ketika belajar matematika. Hal yang pertama, kita diajarkan bagaimana mengerjakan soal, penulis sudah membahasnya di Cara Mengerjakan Soal Matematika – Blog Cara Kerja Soal secara khusus. Hal yang kedua, bagaimana membuktikan kebenaran-kebenaran matematika. Kita akan membahasnya secara umum dalam tulisan ini, kemudian dibahas dalam tulisan-tulisan lain secara khusus dalam judul-judul tersendiri sesuai kemampuan penulis.

Apa yang Dibuktikan dalam Matematika

Matematika dibangun berdasarkan suatu sistem yang memuat beberapa istilah dasar dan sifat yang kebenarannya diterima tanpa pembuktian. Sistem ini disebut sistem aksioma. Sistem aksioma terdiri dari empat bagian penting, yaitu istilah tak terdefinisi, istilah terdefinisi, aksioma, dan teorema. [1] Adapun pengertiannya masing-masing diberikan sebagai berikut.
  • Definisi adalah batasan secara singkat tentang suatu pengertian yang dirumuskan dari istilah dasar (istilah yang tidak terdefinisi) yang perumusannya menjadi suatu pernyataan yang benar.
  • Istilah tak terdefinisi adalah istilah dasar (primitif) yang digunakan untuk membangun istilah lain, arti istilahnya sendiri tidak didefinisikan tetapi deskripsinya ada. Contohnya titik, garis, bidang, dan sebagainya.
  • Aksioma berasal dari bahasa Yunani yang memiliki arti terbukti dengan sendirinya. Aksioma adalah suatu pernyataan yang memuat istilah dasar (istilah tak terdefinisi) dan istilah terdefinisi, tidak berdiri sendiri dan tidak diuji kebenarannya. Aksioma merupakan pernyataan pangkal yang diandaikan benar pada suatu sistem dan diterima tanpa pembuktian. Aksioma digunakan sebagai pedoman dasar untuk menghasilkan dalil-dalil yang baru dan/atau digunakan untuk membuktikan suatu dalil. Nama lain dari aksioma adalah postulat.
  • Dalil (teorema) adalah kebenaran yang diturunkan dari aksioma yang dirumuskan secara logika sehingga kebenarannya perlu dibuktikan terlebih dahulu. Contoh teorema yang diperoleh dengan cara menghubungkan definisi dengan definisi lainnya adalah teorema Pythagoras yang menyatakan hubungan ketiga sisi segitiga siku-siku.

Bukti Formal. Membuktikan bahwa suatu pernyataan adalah pernyataan yang benar adalah salah satu masalah pokok yang digumuli terus menerus dalam matematika. Pembuktian kebenaran suatu pernyataan berlangsung dalam suatu proses penalaran deduktif yang sah, yaitu suatu proses yang berpangkal dari suatu himpunan (bentuk) pernyataan-pernyataan yang disebut premis dan berakhir dengan suatu (bentuk) pernyataan yang disebut kesimpulan.  Setiap langkah dalam proses tersebut haruslah didasarkan pada suatu kaidah inferensi tertentu sehingga premis-premis yang benar akhirnya hanya dapat dihasilkan kesimpulan yang benar. Karena penalaran deduktif yang sah tidak mungkin menghasilkan kesimpulan yang salah dari premis-premis yang benar. Dengan kata lain, membuktikan suatu pernyataan  benar harus menggunakan penalaran yang sah dengan premis-premis yang benar. Penalaran deduktif yang sah ini disebut kaidah inferensi. Kaidah inilah yang kita gunakan dalam membuktikan. [2]
Bukti dalam matematika dipergunakan untuk memperlihatkan bahwa suatu (bentuk) pernyataan (yaitu kesimpulan dari bukti itu) adalah benar berdasarkan (bentuk-bentuk) pernyataan lainnya yang benar atau diandaikan benar (misalnya aksioma dan definisi) atau yang sudah dibuktikan kebenarannya. (Bentuk) pernyataan yang sudah dibuktikan kebenarannya disebut teorema.  Teorema merupakan simpulan-simpulan penting dalam matematika. Karena teorema adalah kebenaran yang diturunkan dari aksioma yang dirumuskan secara logika maka untuk membuktikan teorema, kita harus mengetahui dan memahaminya dulu dari aksioma apa atau dari teorema apa ia diturunkan sehingga dengan menggunakan aksioma tersebut atau teorema yang telah dibuktikan tersebut kita dapat membuktikan teorema yang diminta menggunakan kaidah-kaidah pembuktian yang sah. [3]

Bukti informal. Bukti foramal dimaksudkan untuk memberikan gambaran secara terinci dan formal mengenai langkah-langkah dalam suatu bukti matematis. Dalam prakteknya, bukti matematis biasanya tidak dilaksanakan secara formal tetapi lebih secara informal, yaitu dengan menggunakan kalimat-kalimat dari bahasa biasa. Seperti halnya bukti formal, bukti informal juga terdiri dari berhingga banyak langkah-langkah yang berpangkal dari suatu himpunan premis-premis (dapat berupa aksioma, definisi, atau teorema yang sudah dibuktikan) dan dengan menggunakan kaidah-kaidah inferensi tertentu akhirnya menghasilkan kesimpulan (yang akan dibuktikan kebenarannya). Dalam bukti yang informal biasa digunakan kalimat-kalimat biasa di samping lambang-lambang (formula-formula) matematis. Ada dua macam metode yang sering digunakan dalam bukti informal, yaitu metode pembuktian langsung dan metode pembuktian tak langsung. [4]

Membuktikan Teorema dalam Matematika

Masih ingatkah Anda apa itu proposisi? Proposisi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran (benar atau salah), tidak mungkin sekaligus keduanya (benar dan salah). Contoh, 5 adalah bilangan prima. Ini adalah proposisi atau pernyataan karena memiliki nilai kebenaran dalam hal ini bernilai benar.  Berdasarkan banyaknya pernyataan, proposisi dibagi dua yaitu proposisi atomik dan proposisi majemuk. Proposisi majemuk merupakan proposisi yang dibentuk dari beberapa proposisi atomik dengan menggunakan kata perangkai logis seperti “dan”, “atau”, “jika … maka …”, dan “… jika dan hanya jika …”. Proposisi majemuk yang menggunakan kata perangkai “Jika … maka ….”, disebut proposisi implikasi. Implikasi dua buah proposisi p dan q, yaitu “Jika p maka q”, disajikan dengan lambang $p \Rightarrow q$ , proposisi p disebut anteseden (atau premis) dan proposisi q disebut konsekuen (atau kesimpulan). Rumus atau teorema di matematika umumnya dapat ditulis dalam bentuk $p \Rightarrow q$  sedemikian hingga p disebut syarat cukup untuk q dan q disebut syarat perlu untuk p.  Untuk membuktikan pernyataan  $p \Rightarrow q$  bernilai benar yaitu q bernilai benar jika p bernilai benar, dapat dilakukan dengan pembuktian berikut ini.

1. Bukti Langsung
Untuk meyakinkan kebenaran implikasi $p \Rightarrow q$ dengan bukti langsung, kita menggunakan pernyataan $p$ sebagai informasi untuk menunjukkan $q$. Untuk membuktikan teorema yang berbentuk secara langsung yaitu dimulai dari pernyataan $p$ mengimplikasikan pernyataan $q_1$ , mengimplikasikan pernyataan $q_2$ sampai pernyataan ke $q_n$ yang mengimplikasikan pernyataan $q$ sehingga pernyataan $p \Rightarrow q$ terbukti bernilai benar. Hal ini sesuai dengan kaidah silogisme berikut ini.
$\begin{align} p & \rightarrow q_1 \\ q_1 & \rightarrow q_2 \\ & … \\  q_n & \rightarrow q \\ Kesimpulan: \ p & \rightarrow q \end{align}$
Contoh: Buktikan jika $x$ bilangan ganjil, maka $x^2$ bilangan ganjil
Tulislah bilangan ganjil $x$ dalam bentuk $x=2k+1$, k bilangan bulat (berdasarkan definisinya) . Akibatnya,
$\begin{align} x^2 &=(2k+1)^2 \\ &= 4k^2+4k+1 \\ &= 2(2k^2+2k)+1 \end{align}$
Karena jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat adalah bilangan bulat maka $2(2k^2+2k)+1$ adalah bilangan ganjil, sehingga terbukti bahwa jika $x$ bilangan ganjil maka $x^2$ juga bilangan ganjil.

2. Bukti Tak Langsung
Apabila bukti tidak langsung sulit untuk digunakan dalam membuktikan teorema, kita bisa mencoba bukti tak langsung. Bukti tak langsung dari suatu implikasi adalah pembuktian yang menggunakan pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi tersebut. Salah satu cara adalah membuktikan bahwa kontraposisi dari implikasinya benar, yang dikenal sebagai bukti dengan kontraposisi. Cara lainnya adalah membuktikan bahwa sesuatu yang tidak sesuai dengan  implikasi itu selalu mengakibatkan pertentangan sesuatu yang dianggap benar. Cara ini dikenal sebagai bukti dengan kontradiksi.

a. Bukti dengan Kontraposisi

Implikasi $p \Rightarrow q$ dibuktikan dengan kontraposisi, yaitu dengan membuktikan $\neg q \Rightarrow \neg p$ karena $p \Rightarrow q$ ekuivalen dengan $\neg q \Rightarrow \neg p$. Apabila kita telah membuktikan kebenaran pernyataan $\neg q \Rightarrow \neg p$ maka secara tidak langsung kita telah membuktikan pula kebenaran implikasi $p \Rightarrow q$.
Contoh: Kontraposisi dari implikasi “Jika $x^2$ bilangan genap maka $x$ juga bilangan genap” adalah
“Jika $x$ bukan bilangan genap maka $x^2$ juga bukan bilangan genap”.
Karena setiap bilangan bulan yang tidak genap adalah bilangan ganjil, maka kontraposisi di atas ekuivalen dengan pernyataan
“jika $x$ bilangan ganjil, maka $x^2$ bilangan ganjil”
Implikasi ini telah dibuktikan pada contoh sebelumnya. Jadi, karena kontraposisi dari pernyataan yang akan dibuktikan benar, maka terbuktilah yang diinginkan.

b. Bukti dengan Kontradiksi
Mula-mula kita mengandaikan yang sebaliknya bahwa pernyataan $p \Rightarrow q$ bernilai salah, sesuai dengan tabel kebenaran implikasi, p bernilai benar dan q bernilai salah (atau $\neg q$ yang bernilai benar). Dengan mengandaikan $\neg q$ yang benar, kita mempunyai satu informasi tambahan. Dengan informasi ($p \wedge \neg q$) kita menemukan sesuatu yang kontradiksi, dengan p atau dengan sesuatu yang dianggap benar (misalnya r). Proses ini secara simbolik ditulis:
$(p \wedge \neg q) \rightarrow (p \wedge \neg p)$ atau
$(p \wedge \neg q) \rightarrow (r \wedge \neg r)$
Dengan menggunakan kaidah reduktio ad absurdum, yakni: 
$[ \neg q \Rightarrow (p \wedge \neg p)] \Rightarrow q$ atau
$[ \neg q \Rightarrow (r \wedge \neg r)] \Rightarrow q$
kita menarik kesimpulan bahwa pengandaian salah, yang benar adalah q bernilai benar.  Bisa juga dipahami dengan cara berikut ini.
Karena kita sudah mengandaikan $\neg q$ bernilai benar sehingga bersama-sama dengan informasi p melalui proses penalaran yang sah kita menyimpulkan sesuatu yang kontradiksi,  $p \wedge \neg p$ atau $r \wedge \neg r$. Karena kita melakukannya secara sah, maka $ (p \wedge \neg q) \rightarrow (p \wedge \neg p)$ atau  $(p \wedge \neg q) \rightarrow (r \wedge \neg r)$ haruslah implikasi yang bernilai benar. Perhatikan $p \wedge \neg p$ atau $r \wedge \neg r$ adalah bentuk pernyataan yang kontradiksi (selalu bernilai salah) maka agar kedua implikasi di atas bernilai benar, sesuai dengan tabel kebenaran implikasi $p \wedge \neg q$, haruslah anteseden dari kedua implikasi tersebut bernilai salah. Jadi,  $ \neg (p \wedge \neg q)$ yang bernilai benar bukan $p \wedge \neg q$ . Padahal kita tahu bahwa  $\neg (p \wedge \neg q)$ ekuivalen dengan $p \Rightarrow q$. Jadi, kita telah membuktikan pernyataan $p \Rightarrow q$ adalah benar. Adapun, langkah-langkah praktis untuk membuktikan teorema dengan bukti kontradiksi dapat dilakukan sebagai berikut.
1) Andaikan sebaliknya bahwa –q benar.
2) Dari pernyataan $ \neg q$, misalnya kita dapat menemukan suatu pernyataan yang kontradiksi baik dengan p maupun dengan pernyataan lain yang dianggap benar, maka kita simpulkan pengandaian salah yang berarti q bernilai benar.
Bukti dengan cara kontradiksi ini digunakan sebagai alternatif terakhir dalam kasus bukti langsung dan bukti dengan kontraposisi tidak dapat dilakukan. Banyak hasil matematika yang terpaksa dibuktikan dengan cara ini.

Contoh: (Prinsip Rumah Burung) Jika $s$ objek ditempatkan di dalam k kotak dimana $s > k$, maka terdapat paling sedikitnya satu kotak yang berisi lebih dari satu objek.
Bukti: Andaikan bahwa tidak ada kotak yang berisi lebih dari satu objek yang artinya semua kotak hanya berisi masing-masing satu objek. Maka, terdapat paling banyak k objek. Hal ini kontradiksi dengan fakta bahwa terdapat s objek dimana $s > k$. Sehingga pengandaian salah, yang benar paling sedikitnya satu kotak yang berisi lebih dari 1 objek.

Pembuktian dengan Induksi Matematis

Pembuktian induksi matematis dipergunakan untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan adalah benar untuk setiap bilangan bulat positif. Metode pembuktian ini didasarkan pada teorema dalam Teori Bilangan yang dikenal dengan Prinsip Induksi Matematis yang berbunyi sebagai berikut:
Jika N adalah himpunan bilangan bulat positif (asli) dan M adalah himpunan bagian dari N yang memenuhi dua sifat: (1) $1 \in M$; (2) jika $k \in M$, maka $k+1 \in M$ untuk setiap $k \in N$. Maka, $M=N$.
Penjelasan selengkapnya beserta contohnya, penulis bahas di tulisan Cara Mengerjakan Soal Induksi Matematika – Cara Kerja Soal.
Selain daripada di atas, penulis membahas secara khusus dalam tulisan lain beberapa metode pembuktian khusus:

Catatan kaki:
[1] Koko Martono, Kalkulus (Jakarta: Erlangga, 1999), hlm. 370
[2] Frans Susilo, Landasan Martematika (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2012), hlm. 44
[3] ibid.
[4] ibid., hlm. 46-47
Sumber Lain: Wono Setya Budhi , Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika (Jakarta Selatan: CV Ricardo, 2003).

Berlangganan Update Artikel Terbaru via Email:

No comments:

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Kontak Kami


Email *

Message *

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design