Pengantar Persamaan Diferensial

Pengantar Persamaan Diferensial - Persamaan diferensial terbagi menjadi dua bagian pembahasan yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.

Persamaan Diferensial Biasa (PDB) merupakan salah satu mata kuliah yang pernah penulis pelajari.

Penulis ingin berbagi catatan tentang materi Persamaan Diferensial baik yang Persamaan Diferensial Biasa maupun Persamaan Diferensial Parsial.

Pengantar Persamaan Diferensial Cover

1. Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang mengandung sebuah fungsi yang tak diketahui dan derivatif-derivatifnya.

Jika pada persamaan tersebut, hanya terdapat satu variabel bebas yang terlibat maka disebut persamaan diferensial biasa (PDB) dan jika lebih dari satu variabel bebas yang terlibat maka disebut persamaan diferensial parsial (sebagian).

2. Membentuk Persamaan Diferensial

Jika diketahui suatu fungsinya maka untuk membentuk persamaan diferensialnya, turunkan sampai orde (tingkat) ke banyaknya konstanta yang termuat dalam fungsi dan kemudian mengeliminasi konstanta-konstanta berdasarkan banyaknya konstanta+1 persamaan.

Misalnya diberikan fungsi $y=A sin \ 3x + B cos \ 3x $. Kita akan membentuk persamaan diferensial dari fungsi tersebut.

Perhatikan bahwa fungsi tersebut memuat dua konstanta A dan B.

Pertama, kita turunkan y terhadap x sampai turunan kedua karena terdapat dua konstanta yang ingin kita hilangkan yang termuat dalam fungsi, yaitu A dan B.

$y=A sin \ 3x + B cos \ 3x \ .... (1)$

$\frac{dy}{dx} = 3A cos \ 3x - 3B sin \ 3x \ .... (2)$

$\frac{d^2y}{(dx)^2} = -9A sin \ 3x - 9B cos \ 3x \ .... (3)$

Kedua, kita mengeliminasi konstanta A dan B dengan menggunakan pers 1 dan 3, sehingga kita peroleh:

$$\frac {d^2y}{(dx)^2} + 9y=0$$

Jadi, persamaan diferensial rumpun kurva tersebut adalah:

$$\frac {d^2y}{(dx)^2} + 9y=0$$

atau bisa juga ditulis dengan $y"+9y=0$

3. Cara Menyelesaikan Persamaan Diferensial

Menyelesaikan persamaan diferensial adalah menemukan  $y=f(x)$ yang memenuhi suatu persamaan diferensial dan inilah yang disebut sebagai solusi persamaan diferensial.

a. Solusi Umum

Sebuah solusi yang dinyatakan secara eksplisit atau implisit yang memuat semua solusi yang mungkin atas suatu domain.

Solusi umum ini memuat n konstanta sebarang.

b. Solusi Khusus

Solusi yang tidak memuat konstanta sebarang.

c. Solusi Singular

Dalam beberapa kasus terdapat solusi lain dari peraamaan yang diberikan oleh solusi tersebut ternyata tidak dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu pada sembarang konstanta dari solusi umum.

Catatan: Konstanta sebarang dilambangkan dengan C atau k.

4. Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas

Misalkan diberikan persamaan diferensial:

$a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$

dengan $a_2(x)$, $a_1(x)$, $a_0(x)$ dinamakan koefisien-koefisien dapat sebagai fungsi dari x atau konstanta; dan r(x) merupakan fungsi kontinu pada $a \le x \le b $ dengan $a_2 \neq 0$.

Jika persamaan diferensial tersebut mempunyai syarat awal:

$y (x_0)=y_0$ dan $y'(x_0)=y_1$

Maka bentuk:

  • $a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$
  • $y (x_0)=y_0$ dan $y'(x_0)=y_1$

disebut sebagai Masalah Syarat Awal.

Jika persamaan diferensial dilengkapi dengan kondisi di ujung-ujung pada interval $a \le x \le b $, misalkan y(a)=A dan y(b)=B maka disebut sebagai Masalah Syarat Batas yang disajikan dalam bentuk:

$a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$

$y (a)=A$ dan $y(b)=B$

Dalam pemodelan fenomena perubahan di dunia nyata, syarat awal ini sering dikaitkan dengan variabel waktu sedangkan syatat batas sering dikaitkan dengan variabel posisi.

Jika melibatkan keduanya, model matematikanya berbentuk persamaan diferensial.

Masalah syarat awal selalu mempunyai solusi dan solusi ini pasti tunggal seperti yang dijamin oleh teorema eksistensi dan ketunggalan solusi masalah syatat awal.

Adapun untuk masalah syarat batas mempunyai tiga kemungkinan solusi, yaitu solusi tunggal, solusi banyak, atau tidak ada solusi.

Misalnya $y_1(x)$ dan $y_2(x)$ merupakan dua solusi yang bebas linier dari persamaan:

$a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$

seperti $y_p $ merupakan solusi khususnya maka solusi umumnya berbentuk:

$y_p (x)=C_1y_1 (x)+C_2 y_2 (x)+y_p (x) $.

Dengan menggunakan sistem batasnya, maka:

  • $y (a)=C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)+y_p (a) \\  <=> C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)+y_p (a)=A $
  • $y (b)=C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)+y_p (b) \\ <=> C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)+y_p (b)=B $

Dari sini

$C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)=A-y_p (a)$

$C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)=B-y_p (b)$

Kedua persamaan di atas membentuk sistem persamaan linier nonhomogen dalam $C_1$ dan $C_2$ yang mempunyai tiga kemungkinan solusi yaitu solusi tunggal, solusi banyak, atau tidak punya solusi.

Demikian Pengantar Persamaan Diferensial, semoga bermanfaat.

Posting Komentar untuk "Pengantar Persamaan Diferensial"


Jangan Lewatkan Kaos Matematika Keren & Unik di👇



Dapatkan panduan Belajar Matematika dari Nol GRATIS di👇