Pembuktian 0!=1 dan 1!=1 dengan ! Notasi Faktorial

0!=1 Karena Memamngnya?
0!=1 Karena Memangnya?

Saya teringat dengan dosen saya dulu yang mengatakan bahwa pembuktian itu paling banyak nanti di semester 5, terutama pada matakuliah Struktur Aljabar atau Analisis Real.

Namun, untuk hal-hal semacam ini, penting untuk kita dapat melakukan pembuktiannya sehingga ketika ada yang bertanya, mengapa $0!=1$, $1!=1$, $0!=1!$, kita bisa mengemukakan alasan matematisnya, bukan menjawabnya dengan alasan klasik "karena memangnya" (senyum).

Dalam matematika salah satu kemampuan yang harus kita miliki adalah kemampuan membuktikan kebenaran suatu teorema atau rumus-rumus dalam matematika.

Bagi kalian yang ingin belajar bagaimana membuktikan dalam matematika, silahkan baca Cara Membuktikan dalam Matematika.

Kalau membuktikan $0!=1$ saja tak mampu, maka dipastikan kita gak akan mampu membuktikan yang lebih dari itu.

Untuk itu, pada kesempatan ini, kita akan membuktikan $0!=1$.

Untuk dapat membuktikannya, pertama kita harus tahu apa itu faktorial yang dinotasikan dengan (!).

Misalkan n bilangan asli maka $n!$ didefinisikan sebagai:

Contoh:

6!=6.5.4.3.2.1=720
5!=5.4.3.2.1=120
4!=4.3.2.1=24
3!=3.2.1=6
2!=2.1=2
1!=?
0!=?

Berdasarkan definisi bahwa $n! = n ( n - 1 )!$, untuk membuktikan $1!=1$ ambil $n=2$ maka:

$$\begin{align} n! &= n ( n - 1 )! \\ 2! &= 2 ( 2 - 1 )! \\ 2 . 1 &= 2 . 1! \\ 2 &= 2 . 1! \\ 2/2 &= 1! \\ 1 &= 1 ! \end{align} $$

(Terbukti bahwa 1! = 1)

Untuk membuktikan $0!=1$ ambil $n=1$ maka:

$$\begin{align} n! &= n ( n - 1 )! \\ 1! &= 1 ( 1 - 1 )! \\
1 &= 0! \end{align}$$

(Terbukti bahwa 0! = 1)

Untuk lebih jelasnya, Anda bisa menyaksikan video berikut ini!

Dengan demikian terbukti benar bahwa $ 0! = 1! =1$. Mudah bukan? Asalkan faham definisi dari faktorial itu seperti apa. Semoga bermanfaat!

10 komentar untuk "Pembuktian 0!=1 dan 1!=1 dengan ! Notasi Faktorial"

  1. kalo caraku

    misalnya
    5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

    kalo 5! dibagi 5 pasti jadi 4 x 3 x 2 x 1 = 4!

    artinya kalo n!/n hasilnya akan (n-1)!

    jadi
    4!/4 = 3!
    3!/3 = 2!
    2!/2 = 1!
    1!/1 = 0! dan kalo kita buktikan 1!/1 = 1/1 = 1

    jadi 0! = 1

    BalasHapus
  2. Kenapa harus dibatasi n!=n(n-1)! saja?
    Harusnya jika memang benar boleh pakai rumus sampai n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!, dan kalau pakai rumus ini tidak akan dapat hasilnya

    BalasHapus
  3. Tidak membatasi, itu ada notasi faktorial. Perkaliannya itu tergantung nilai n yang diberikan. Misal jika n = 3 maka n!=n(n-1)(n-2)=3×2×1

    BalasHapus
    Balasan
    1. Iya kak saya paham, dipembuktian ditulis pakai n!=n(n-1)! dan ini memang saya yakini benar.
      Tetapi jika n=0 maka menjadi 0!=0(-1)!, jadi kesannya penggunaan rumus n!=n(n-1)! memaksa dan cocokologi

      Hapus
    2. iya benar kalau dimasukkan langsung ke rumus memang tidak terdefinisi.. krn memang rumus n! didefinisikan untuk n bilangan asli.. jadi untuk 0 tidak bisa langsung disubstitusikan ke rumus faktorial.. kita mendefinisikan tersendiri untuk kasus 0! yaitu sama dengan 1 dengan menggunakan teknik aljabar berangkat dari definisi notasi faktorial sendiri, sehingga kita mendapatkan bahwa 1!=1 dan 0!=1

      Hapus

Jangan Lewatkan Kaos Matematika Keren & Unik di👇



Dapatkan panduan Belajar Matematika dari Nol GRATIS di👇