Pembuktian 0!=1 dan 1!=1 dengan ! Notasi Faktorial
0!=1 Karena Memangnya? |
Saya teringat dengan dosen saya dulu yang mengatakan bahwa pembuktian itu paling banyak nanti di semester 5, terutama pada matakuliah Struktur Aljabar atau Analisis Real.
Namun, untuk hal-hal semacam ini, penting untuk kita dapat melakukan pembuktiannya sehingga ketika ada yang bertanya, mengapa $0!=1$, $1!=1$, $0!=1!$, kita bisa mengemukakan alasan matematisnya, bukan menjawabnya dengan alasan klasik "karena memangnya" (senyum).
Dalam matematika salah satu kemampuan yang harus kita miliki adalah kemampuan membuktikan kebenaran suatu teorema atau rumus-rumus dalam matematika.
Bagi kalian yang ingin belajar bagaimana membuktikan dalam matematika, silahkan baca Cara Membuktikan dalam Matematika.
Kalau membuktikan $0!=1$ saja tak mampu, maka dipastikan kita gak akan mampu membuktikan yang lebih dari itu.
Untuk itu, pada kesempatan ini, kita akan membuktikan $0!=1$.
Untuk dapat membuktikannya, pertama kita harus tahu apa itu faktorial yang dinotasikan dengan (!).
Misalkan n bilangan asli maka $n!$ didefinisikan sebagai:
Contoh:
6!=6.5.4.3.2.1=720
5!=5.4.3.2.1=120
4!=4.3.2.1=24
3!=3.2.1=6
2!=2.1=2
1!=?
0!=?
Berdasarkan definisi bahwa $n! = n ( n - 1 )!$, untuk membuktikan $1!=1$ ambil $n=2$ maka:
$$\begin{align} n! &= n ( n - 1 )! \\ 2! &= 2 ( 2 - 1 )! \\ 2 . 1 &= 2 . 1! \\ 2 &= 2 . 1! \\ 2/2 &= 1! \\ 1 &= 1 ! \end{align} $$
(Terbukti bahwa 1! = 1)
Untuk membuktikan $0!=1$ ambil $n=1$ maka:
$$\begin{align} n! &= n ( n - 1 )! \\ 1! &= 1 ( 1 - 1 )! \\
1 &= 0! \end{align}$$
(Terbukti bahwa 0! = 1)
Untuk lebih jelasnya, Anda bisa menyaksikan video berikut ini!
Dengan demikian terbukti benar bahwa $ 0! = 1! =1$. Mudah bukan? Asalkan faham definisi dari faktorial itu seperti apa. Semoga bermanfaat!
kalo caraku
BalasHapusmisalnya
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
kalo 5! dibagi 5 pasti jadi 4 x 3 x 2 x 1 = 4!
artinya kalo n!/n hasilnya akan (n-1)!
jadi
4!/4 = 3!
3!/3 = 2!
2!/2 = 1!
1!/1 = 0! dan kalo kita buktikan 1!/1 = 1/1 = 1
jadi 0! = 1
makasih kak
BalasHapusterimakasih sangat membantu
BalasHapusUp
BalasHapusKenapa harus dibatasi n!=n(n-1)! saja?
BalasHapusHarusnya jika memang benar boleh pakai rumus sampai n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!, dan kalau pakai rumus ini tidak akan dapat hasilnya
Tidak membatasi, itu ada notasi faktorial. Perkaliannya itu tergantung nilai n yang diberikan. Misal jika n = 3 maka n!=n(n-1)(n-2)=3×2×1
BalasHapusIya kak saya paham, dipembuktian ditulis pakai n!=n(n-1)! dan ini memang saya yakini benar.
HapusTetapi jika n=0 maka menjadi 0!=0(-1)!, jadi kesannya penggunaan rumus n!=n(n-1)! memaksa dan cocokologi
iya benar kalau dimasukkan langsung ke rumus memang tidak terdefinisi.. krn memang rumus n! didefinisikan untuk n bilangan asli.. jadi untuk 0 tidak bisa langsung disubstitusikan ke rumus faktorial.. kita mendefinisikan tersendiri untuk kasus 0! yaitu sama dengan 1 dengan menggunakan teknik aljabar berangkat dari definisi notasi faktorial sendiri, sehingga kita mendapatkan bahwa 1!=1 dan 0!=1
Hapus