Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri

Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri - Dalam bahasa matematika, limit menjelaskan nilai suatu fungsi jika didekati dari titik tertentu.

Bukan tepat di titik tertentu tersebut.

Jadi meskipun suatu fungsi tidak terdefinisi pada suatu titik, tetapi bisa jadi ia memiliki nilai limit pada titik tersebut.

Misalnya, fungsi trigonometri $f(x)= \tan x$ tidak memiliki nilai (arti) pada $x=\frac{\pi}{2}$ sebab $\tan \frac{\pi}{2}$ tidak terdefinisi.

Tetapi bisa saja memiliki nilai limit untuk $x$ mendekati $\frac{\pi}{2}$ baik dari arah kiri maupun kanan.

Suatu fungsi f(x) dikatakan memiliki nilai limit pada titik x=a apabila limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama dengan limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan.

Misalkan limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri adalah $L_1$ dan limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan adalah $L_2$.

Apabila $L_1 \neq L_2$ maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada. Sebaliknya, apabila $L_1 = L_2=L$ maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L.

Secara matematis, pengertian limit fungsi tersebut diberikan pada definisi berikut ini.

Definisi Limit Fungsi

Suatu fungsi y=f(x) didefinisikan untuk x di sekitar a (selanjutnya a disebut titik limit), maka $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=L$ jika dan hanya jika $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x)=\lim_{x \rightarrow a^+} f(x)=L$.

Dari definisi limit fungsi di atas, pencarian limit fungsi dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan numerik seperti menyusun tabel nilai fungsi dengan menggambil domain fungsi dari sebelah kiri dan kanan suatu titik limit;

dan pendekatan grafik fungsi yaitu melihat gambar grafik fungsi tersebut baik dari arah sebelah kiri maupun dari sebelah kanan titik limit untuk mengetahui secara intuisi nilai limit fungsi tersebut ada atau tidak ada.

Contoh soal limit fungsi trigonometri:

Periksa apakah $\lim_{x→π/2} \tan x$ ada.

Menentukan limit kiri:

$\lim_{x→(π/2)^−} \tan (x)$

Ketika nilai x mendekati π/2 dari kiri, nilai fungsinya meningkat tanpa batas, positif tak hingga yaitu ∞.

Menentukan limit kanan:

$\lim_{x→(π/2)^+} \tan (x)$

Ketika nilai x mendekati π/2 dari kanan, nilai fungsinya menurun tanpa batas, negatif tak-hingga yaitu −∞.

Karena limit kiri dan sisi kanan tidak sama, limitnya tidak ada.

Teorema Limit Utama

Berikut ini adalah teorema-teorema limit yang berguna dalam menentukan limit suatu fungsi.

Karena fungsi yang ingin ditentukan limitnya dapat berupa jumlah, selisi, kali, dan bagi dari fungsi-fungsi yang telah diketahui limitnya.

Karena jika kita hanya menggunakan pendekatan numerik atau grafik ini sangatlah tidak efisien dan efektif.

1. Jika f(x)=k maka $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=k$ (untuk setiap k konstan dan a bilangan real).
2. Jika k suatu konstan maka $\lim_{x \rightarrow a} k.f(x)=k \ \lim_{x \rightarrow a} f(x)$
3. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) + g(x)] =\lim_{x \rightarrow a} f(x) + \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
4. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) - g(x)] =\lim_{x \rightarrow a} f(x) - \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
5. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) \times g(x)] =\lim_{x \rightarrow a} f(x) \times \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
6. $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{ \lim_{x \rightarrow a} f(x)}{ \lim_{x \rightarrow a} g(x)}$
7. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x)]^n=[ \lim_{x \rightarrow a} f(x)]^n$
8. $\lim_{x \rightarrow a} {^n\sqrt{f(x)}}= {^n\sqrt{ \lim_{x \rightarrow a} f(x)}}$

Menentukan Limit Fungsi Trigonometri

Dalam beberapa kasus, penyelesaian limit fungsi trigonometri hampir sama dengan penyelesaian soal limit fungsi aljabar, misalnya dengan metode substitusi langsung.

Jika metode substitusi langsung menghasilkan nilai yang tak tentu maka dilakukan dengan metode pemfaktoran sehingga tidak berbentuk tak tentu lagi.

Rumus-rumus trigonometri yang telah Anda pelajari dan teorema limit utama berguna dalam menyelesaikan limit-limit fungsi trigonometri.

Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} sin \ x = sin \ \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} (cos^2 \ x - sin^2 \ x ) &= (\lim_{x \rightarrow 0} cos \ x)^2 – (\lim_{x \rightarrow 0} sin \ x)^2 \\ & = (1)^2-(0)^2 \\ &=1 \end{align}$

Karena $sin \ 2x=2sin \ x \ cos \ x$ maka:

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{sin \ 2x} &=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{2sin \ x \ cos \ x} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2 \ cos \ x} \\ &= \frac{1}{2 \ cos \ (0)} \\ & = \frac{1}{2.1} \\ &=\frac{1}{2} \end{align}$

Limit-limit fungsi trigonometri dapat pula diselesaikan dengan menggunakan rumus.

Rumus-rumus fungsi trigonometri yang dimaksud itu adalah:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x}=1$

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x}=1$

Rumus-rumus limit fungsi trigonometri dasar dia atas dapat diperluas.

Misalkan u adalah fungsi dari x dan jika $x \rightarrow 0$ maka $u \rightarrow 0$, sehingga rumus-rumus tersebut dapat ditulisakan menjadi:

$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{sin \ u}{u}=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{u}{sin \ u}=1$

$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{tan \ u}{u}=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{u}{tan \ u}=1$

Contoh soal limit fungsi trigonometri:

$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{1 – cos \ x}{x^2}$

Penyelesaian:

Kalau kita lakukan metode substitusi langsung, ternyata hasilnya berbentuk tak-tentu 0/0.

Soal ini bisa diselesaikan dengan memanfaatkan kesamaan trigonometri $cos \ 2x=1 – 2 \ sin^2 \ x$ untuk mengubah $1 – cos \ x$ agar kita dapat menggunakan rumus $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{sin \ u}{u}=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{u}{sin \ u}=1$.

Karena $cos \ 2x=1 – 2 \ sin^2 \ x$ maka   $cos \ x =1 – 2 \ sin^2 \ (\frac{1}{2}x) \Leftrightarrow 1-cos \ x =2 \ sin^2 \ (\frac{1}{2}x) $, dan dengan memisalkan $u= \frac{1}{2}x$ maka

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – cos \ x}{x^2} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \ sin^2 \ \frac{1}{2}x}{x^2} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \ sin^2 \ \frac{1}{2}x}{x^2} \times \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \ \frac{sin^2 \ \frac{1}{2}x}{(\frac{1}{2}x)^2} \\ &= \lim_{u \rightarrow 0} \frac{1}{2} \ \frac{sin^2 \ u}{u^2} \\ &=\frac{1}{2} \lim_{u \rightarrow 0} (\frac{sin \ u}{u})^2 \\ &=\frac{1}{2} (\lim_{u \rightarrow 0} \frac{sin \ u}{u})^2  \\ & = \frac{1}{2} . (1)^2 \\ &=\frac{1}{2} \end{align}$

Demikian Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri, semoga bermanfaat.