Integral Substitusi

Integral Substitusi - Integral substitusi merupakan salah satu teknik integrasi yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal integral, baik integral tak-tentu maupun integral tentu.

Apabila teknik integral substitusi tidak dapat dilakukan dalam menyelesaikan soal-soal integrasi tersebut, ada teknik yan kedua yang dapat digunakan yaitu teknik integral parsial.

Keefektifan menggunakan metode substitusi ini tergantung pada ketersediaan daftar integral-integral yang sudah dikenal.

Untuk itu, kami berpendapat bahwa kalian harus menghapalkan daftar integral-integral yang sudah dikenal tersebut. Di antaranya adalah sebagai berikut.

Bentuk Integral Baku (Integral Dasar)

1. $\int \ k \ dx =kx+C$
2. $\int x^n \ dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
3. $\int \frac{1}{x} \ dx=ln \ x + C$
4. $\int e^x \ dx=e^x+C$
5. $\int a^x \ dx= \frac{a^x}{ln \ a}+C, \ a \neq 1, \ a>0$
6. $\int \sin x \ dx=- \cos x+C$
7. $\int \cos  x \ dx= \sin  x+C$
8. $\int \sec^2  x \ dx= \tan  x+C$
9. $\int \csc^2  x \ dx=- \cot  u+C$
10. $\int \sec  x \tan  x \ dx=sec  x+C$
11. $\int \csc  x \cot  x \ dx= \sec  x+C$
12. $\int \tan  x \ dx=- \ln| \cos  x|+C$
13. $\int \cot  x \ dx= \ln| \sin \ x|+C$
14. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \ dx= \sin^{-1} \ (\frac{x}{a})+C$
15. $\int \frac{1}{a^2+x^2} \ dx= \frac{1}{a} \tan^{-1} \ (\frac{x}{a})+C$
16. $\int \frac{1}{x\sqrt{a^2-x^2}} \ dx= \frac{1}{a} \sec^{-1} \ (\frac{|x|}{a})+C$
17. $\int \sinh  x \ dx= \cosh \ x+C$
18. $\int \cosh x \ dx= \sinh \ x+C$

Substitusi dalam Integral Tak-Tentu

Misalkan kita menghadapi suatu integral tak tentu dalam bentuk baku, cukup tuliskan jawabannya. Jika bukan, carilah suatu substitusi yang akan mengubahnya menjadi bentuk baku.

Jika substitusi yang kita coba tidak berhasil, cobahlah yang lain. Kemampuan untuk melakukan ini membutuhkan banyak latihan.

Rumus Integral Substitusi

Misalkan g adalah fungsi yang terdiferensiasikan dan misalkan F adalah anti-turunan f. Maka, jika u=g(x), $\int f(g(x))g’(x) \ dx= \int f(u) \ du=F(u)+C=F(g(x))+C$.

Contoh soal:

Carilah $\int \frac{x}{\cos^2 (x^2)} \ dx$

Penyelesaian:

$\int \frac{x}{\cos^2 (x^2)} \ dx= \int x \ \sec^2 (x^2) \ dx$

Misalkan $u=x^2$

Maka,

$\begin{align} \frac{du}{dx} &=2x \\ \frac{1}{2} du &=x \ dx \end{align}$

Sehingga,

$\begin{align} \int \frac{x}{\cos^2 \ (x^2)} \ dx &= \int x \ \sec^2 \ (x^2) \ dx \\ &= \int \sec^2 \ (x^2) \ x \ dx \\ &= \int \sec^2 \ (u) \frac{1}{2} du \\ &= \frac{1}{2} \int sec^2 \ (u) \ du \\ &= \frac{1}{2} \tan \ u+C \\ &= \frac{1}{2} \tan \ (x^2)+C \end{align}$

Substitusi dalam Integral Tentu

Ini sama saja seperti substitusi dalam integral tak-tentu, tetapi kita harus ingat untuk melakukan perubahan yang sesuai dalam limit-limit integrasi.

Contoh soal:

Hitunglah $\int_{2}^5 t \sqrt{t^2-4} \ dt$

Penyelesaian:

Misalkan $u=t^2-4$

Maka,

$\begin{align} \frac{du}{dt} &=2t \\ \frac{1}{2} du &=t \ dt \end{align}$

$\begin{align} t=2 \rightarrow u &= (2)^2-4 \\ u &=0 \end{align}$

$\begin{align} t=5 \rightarrow u &= (5)^2-4 \\ u &=21 \end{align}$

Sehingga,

$\begin{align} \int_{2}^5 t \sqrt{t^2-4} \ dt &= \int_{2}^5  \sqrt{t^2-4} \ t \ dt \\ &= \int_{0}^{21} \sqrt{u} \frac{1}{2} du \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{21} u^{\frac{1}{2}} \ du \\ &= \frac{1}{2} (\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}) ]_{0}^{21} \\ &=\frac{1}{3} u \sqrt{u} ]_{0}^{21} \\ &= \frac{1}{3} (21) \sqrt{21} - \frac{1}{3} (0) \sqrt{0} \\ &=7 \sqrt{21} \end{align}$

Substitusi yang dibahas adalah adalah substitusi versi ke-1, ada substitusi versi kedua yang akan kita bahas berikut ini.

Integral Substitusi Versi 2

Kita sudah membahas Integral Subsitusi Versi 1 di atas. Jika Anda belum mengetahui bagaimana tekniknya, silahkan dibaca lagi agar pembahasan ini dapat dimengerti oleh Pecinta Kalkulus sekalian.

Kali ini, kita akan membahas bagaimana menyelesaikan soal-soal integral fungsi menggunakan Teknik Integral Subsitusi Versi 2.

Jika kita membuat subsitusi $x=g(u)$, kemudian didiferensialkan menjadi $dx=g’(u) \ du$, dan misalkan soalnya adalah $∫ f(x) \ dx $, dengan $f(x)$ suatu fungsi aljabar atau trigonometri dll.

Maka berdasarkan pemisalan yang ada, maka:

$\int f(x) \ dx= \int f[g(u)] g'(u) \ du$

Contoh: Selesaikan $\int x \sqrt{(x+1} \ dx$

Penyelesaian:

Jika kita membuat subsitusi $u= \sqrt{(x+1)}$ sehingga $x=u^2-1$, maka $dx=2u \ du$.

Kita ganti variabel x ke dalam u. Jadi,

$$\begin{align} & \int x \sqrt{(x+1)} \ dx \\ &= \int (u^2-1)2u^2 \ du \\ & = \int 2u^4 du - \int 2u^2 du \\ & = \frac{2}{5} u^5- \frac{2}{3} u^3+k \\ &= \frac{2}{5}(x+1)^{ \frac{5}{2}}- \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}}+k \end{align}$$

Demikianlah cara menyelesaikan soal integral dengan Teknik Integral Subsitusi.