Cara Membuktikan 1 > 0

Simbol "1 > 0" menyatakan "satu lebih besar dari nol" dimana pada garis bilangan, 1 terletak di sebelah kanan 0.

Simbol ketaksamaan ">" sudah dibahas pada postingan Urutan dan Sifat-sifat Urutan dalam Bilangan Real dalam mata kuliah kalkulus.

Salah satu sifat urutan yang ada pada pembahasan tersebut adalah sifat trikotomi sebagai berikut.

Sifat Trikotomi dalam relasi ketaksamaan menyatakan:

Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real, maka ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi (tidak sekaligus) yaitu $x < y$ atau $x=y$ atau $x > y$.

Sifat Trikotomi dalam gagasan posititivitas menyatakan:

Jika $a$ di R maka tepat salah satu dari berikut ini dipenuhi.

$a \in P$, $a=0$, atau $-a \in P$

dengan $P$ menyatakan himpunan bilangan real positif.

Catatan:

Sifat trikotomi yang pertama menyatakan hanya ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi jika diberikan dua bilangan real x dan y, yaitu $x < y$, $x=y$, atau $x > y$.

Sifat trikotomi yang kedua menyatakan jika diberikan sebuah bilangan real a, maka ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi a bilangan positif, 0, atau bilangan negatif.

Sifat Urutan dari R

Terdapat sub himpunan tak kosong P dari R, yang disebut himpunan bilangan real positif, yang memenuhi sifat-sifat berikut.

1. Bila a, b di P maka a+b di P
2. Bila a, b di P maka a.b di P
3. Bila a di R maka $a \in P$, $a=0$, atau $-a \in P$

Membuktikan 1 > 0

Kita akan menggunakan sifat-sifat urutan di atas untuk membuktikan teorema berikut ini yang akan kita gunakan untuk membuktikan 1>0.

Teorema:

Jika $a \in R$ dan $a \neq 0$ maka $a^2>0$.

Bukti:

Menurut sifat trikotomi, jika $a \neq 0$ maka $a$ di P atau $-a$ di P.

Bila $a$ di P maka menurut sifat (ii) maka $a^2=a.a$ di P.

Secara sama, bila $-a$ di P maka $(-a).(-a)$ di P

Ada suatu teorema menyatakan $(-a).(-a)=a^2$, sehingga kita sudah membuktikan untuk kemungkinan kedua.

Jadi, $a^2 \in P$. Kita simpulkan bahwa jika $a \neq 0$ maka $a^2>0$

Sekarang, kita akan membuktikan 1>0. Caranya dengan menggunakan teorema yang telah terbukti di atas.

Karena $1=(1)^2$ maka menurut teorema di atas mengakibatkan 1>0 (Terbukti)

Cara pembuktian yang kedua bisa menggunakan Urutan dan Sifat-sifat Urutan dalam Bilangan Real dengan menggunakan relasi ketaksamaan dan juga Bukti a.0=0.

Menurut sifat trikotomi, jika $a \neq 0$ maka $a>0$ atau $a<0$.

Bila $a>0$ maka $a^2=a.a \; > \; a.0=0$.

Bila $a < 0$ maka $a.a > a.0 \Leftrightarrow a^2>0$

Demikian Pembuktian 1>0, semoga bermanfaat.