Rumus dan Pembuktian sin (a+b) Beserta Contoh Soalnya

Rumus dan Pembuktian sin (a+b) Beserta Contoh Soalnya - Saya telah menulis daftar lengkap rumus trigonometri dalam Buku Belajar Matematika dari Dasar dimana salah satunya adalah apa yang akan kita bahas berikut ini.

Rumus trigonometri yang akan kita bahas adalah rumus sin (a+b) berikut ini.

Rumus sin (a+b)

$$\sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a\sin b$$

Untuk membuktikan rumus sin (a+b) di atas, kita menggunakan rumus-rumus yang telah ada yang kita pelajari sebelumnya.

Dalam membuktikan dalam matematika, caranya adalah menggunakan definisi atau teorema (rumus) yang ada sebelumnya.

Untuk membuktikan rumus sin (a+b), kita menggunakan rumus berikut ini.

a. Rumus Sudut Berelasi:

1. $\sin (\frac{\pi}{2} - a) = \cos a$
2. $\cos (\frac{\pi}{2} - a) = \sin a$

b. Rumus cos (a-b)

$\cos (a+b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b$

Sekarang, kita akan membuktikan rumus sin (a+b) sebagai berikut.

Pembuktian sin (a+b)

Berdasarkan rumus a bagian (i), diperoleh hubungan sebagai berikut.

$\begin{align} \sin (a+b) &= \cos (\frac{\pi}{2} - (a+b)) \\ &= \cos (\frac{\pi}{2}-a-b)) \\ &= \cos ((\frac{\pi}{2}-a)-b)) \end{align}$

Kita gunakan rumus cos (a-b) untuk melanjutkan:

$\begin{align} \sin (a+b) &= \cos ((\frac{\pi}{2}-a)-b)) \\ &= \cos (\frac{\pi}{2}-a) \cos b + \sin (\frac{\pi}{2}-a) \sin b \end{align}$

Berdasarkan rumus a bagian (ii) maka diperoleh:

$\begin{align} \sin (a+b) &= \cos (\frac{\pi}{2}-a) \cos b + \sin (\frac{\pi}{2}-a) \sin b \\ &= \sin a \cos b + \cos a \sin a \end{align}$

Jadi, kita telah membuktikan rumus $\sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a\sin b$.

Contoh Soal Rumus sin (a+b)

Rumus sin (a+b) biasa digunakan untuk menyelesaikan soal trigonometri untuk sudut yang bukan merupakan sudut istimewa.

Besar sudut istimwa antara lain adalah $0^o$, $30^o$, $45^o$, $60^o$, dan $90^o$.

Nilai sinus dari sudut istimewa tersebut dapat ditentukan dengan melihat daftar tabel nilai trigonometri.

Tapi bagaimana nilai sinus yang besarnya bukan sudut istimwa?

Berikut ini contoh soal rumus sin (a+b).

Contoh soal:

Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah nilai eksak dari sin $15^o$

Jawab:

$\begin{align} \sin (15^o) &= \sin (45^o - 30^0) \sin (15^o) \\ &= \sin 45^o \cos 30^o + \cos 45^0 \sin 30^o \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) \end{align}$

Demikianlah Rumus dan Pembuktian sin (a+b) Beserta Contoh Soalnya, semoga bermanfaat.