Teorema Limit Utama Beserta Contohnya
Teorema Limit Utama Beserta Contohnya - Kita sudah menyebutkan sebelumnya tentang teorema limit utama pada postingan Cara Mengerjakan Soal Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri tetapi tidak diberikan contoh-contoh penerapannya, sehingga pada postingan ini akan dituliskan kembali teorema limit utama beserta contoh-contoh soalnya.
Teorema Limit Utama
Sifat-sifat limit fungsi dapat dirangkum dalam Teorema Limit berikut.
1. Teorema Limit Fungsi Konstan
Jika $f(x)=k$ maka $\lim_{x→a} f(x)=k$ (untuk setiap k konstan dan a bilangan real).
2. Teorema Limit Fungsi Identitas
Jika $f(x)=x$ maka $\lim_{x→a} f(x)=a$ (untuk setiap a bilangan real).
3. Teorema Limit Jumlah dan Selisih Fungsi-fungsi
Jika f(x) dan g(x) memiliki limit di titik a maka:
- $\lim_{x→a} \left\lbrace f(x)+g(x) \right\rbrace = \lim_{x→a} f(x)+\lim_{x→a}g(x)$
- $\lim_{x→a} \left\lbrace f(x)-g(x) \right\rbrace = \lim_{x→a} f(x)-\lim_{x→a}g(x)$
4. Teorema Limit Perkalian Skalar
Jika k suatu konstanta maka $\lim_{x→a} k.f(x)=k \lim_{x→a}f(x)$).
5. Teorema Limit Hasil Kali dan Bagi Fungsi-fungsi
Jika f(x) dan g(x) memiliki limit di titik a dengan $\lim_{x→a}g(x) \neq 0$ maka:
- $\lim_{x→a} \left\lbrace f(x).g(x) \right\rbrace = \lim_{x→a} f(x).\lim_{x→a}g(x)$
- $\lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} =\frac{\lim_{x→a} f(x)}{\lim_{x→a}g(x)}$
6. Teorema Limit Hasil Pangkat dan Akar Fungsi
- $\lim_{x→a} \left\lbrace f(x) \right\rbrace^n = \left\lbrace \lim_{x→a} f(x) \right\rbrace^n$
- $\lim_{x→a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x→a} f(x)}$ dengan $\lim_{x→a} f(x)\ge 0$ jika n genap.
Contoh Penerapan Teorema Limit Utama
CONTOH 1
Hitunglah nilai limit fungsi berikut ini.
a. $\lim_{x→1} (4x^2-6x+10)$
b. $\lim_{x→2} \frac{\sqrt{x^3+8}}{x}$
JAWAB
a. $\lim_{x→1} (4x^2-6x+10)$
$\begin{align} \lim_{x→1} (4x^2-6x+10) & = \lim_{x→1} 4x^2 - \lim_{x→1} 6x + \lim_{x→1} 10 && \mbox{(Teorema 3a dan 3b)} \\ & = 4(\lim_{x→1} x)^2 - 6 \lim_{x→1} x + \lim_{x→1} 10 && \mbox{(Teorema 4)} \\ & = 4(1)^2 - 6(1) + 10 && \mbox{(Teorema 1, 2, 6a)} \\ & = 8 && \end{align}$
Jadi, $\lim_{x→1} (4x^2-6x+10)=8$
b. $\lim_{x→2} \frac{\sqrt{x^3+8}}{x}$
$\begin{align} \lim_{x→2} \frac{\sqrt{x^3+8}}{x} & = \frac{\lim_{x→2} \sqrt{x^3+8}}{\lim_{x→2} x} && \mbox{(Teorema 5b)} \\ & = \frac{ \sqrt{\lim_{x→2} (x^3+8)}}{2} && \mbox{(Teorema 6b dan 2)} \\ & = \frac{ \sqrt{\lim_{x→2} x^3 +\lim_{x→2} 8}}{2} && \mbox{(Teorema 3a)} \\ & = \frac{ \sqrt{(\lim_{x→2} x)^3 +\lim_{x→2} 8}}{2} && \mbox{(Teorema 6a)} \\ & = \frac{ \sqrt{(2)^3 +8}}{2} && \mbox{(Teorema 1 dan 2)} \\ & =2 && \end{align}$
Jadi, $\lim_{x→2} \frac{\sqrt{x^3+8}}{x}=2$
CONTOH 2
Diketahui $\lim_{x→a} f(x)=3$ dan $\lim_{x→a} g(x)=243$. Hitunglah nilai $\lim_{x→a}\left\lbrace f^2(x).\sqrt[5]{g(x)} \right\rbrace$
JAWAB
$\begin{align} \lim_{x→a}\left\lbrace f^2(x).\sqrt[5]{g(x)} \right\rbrace & = \lim_{x→a}\ f^2(x). \lim_{x→a}\sqrt[5]{g(x)} && \mbox{(Teorema 5a)} \\ & = \left\lbrace \lim_{x→a} f(x)\right\rbrace^2. \sqrt[5]{\lim_{x→a}g(x)} && \mbox{(Teorema 6a dan 6b)} \\ & =(3)^2. \sqrt[5]{243} && \\ & =9.3 && \\ & =27 && \end{align} $
Jadi, $\lim_{x→a}\left\lbrace f^2(x).\sqrt[5]{g(x)} \right\rbrace = 27$
Demikian tenang Teorema Limit Utama Beserta Contohnya, semoga bermanfaat.
Posting Komentar untuk "Teorema Limit Utama Beserta Contohnya"