Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat

Kita telah membahas tentang Bilangan Bulat dan operasinya, kali ini kita membahas sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat, dengan mengetahuinya, kita dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan operasi dasar bilangan bulat.

Ada enam sifat yang akan kita bahas di sini, yaitu sifat tertutup, komutatif, asosiatif, identitas, invers, dan sifat distributif. Keenam sifat ini termasuk dalam Sifat-sifat Operasi Dasar Matematika yang perlu diketahui.

Apakah keenam sifat ini berlaku pada himpunan bilangan bulat, simak penjelasannya berikut ini.

#1. Sifat Tertutup

Sifat tertutup pada bilangan bulat maksudnya adalah hasil operasi pada bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat.

Contohnya, $2+3=5$, $6-3=3$, dan $4 \times 3 =12$.

Setiap hasil operasi penjumlahan, penguruangan, dan perkalian dua bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat. Akan tetapi, untuk operasi pembagian dua bilangan bulat tidak berlaku karena tidak semua menghasilkan bilangan bulat, contohnya $1 : 2 = 0,5$ (0,5 merupakan bilangan pecahan).

Jadi sifat tertutup ini hanya berlaku pada operasi penjumlahan, penguruangan, dan perkalian sedangkan pada operasi pembagian tidak berlaku.

#2. Sifat Komutatif (Pertukaran)

Sifat komutatif pada bilangan bulat maksudnya hasil operasi akan tetap sama apabila kita menukar posisi dari dua bilangan bulat yang dioperasikan. Sifat komutatif pada bilangan bulat hanya berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat saja.

Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka sifat komutatif penjumlahan dan perkalian dirumuskan sebagai berikut.

$a + b = b + a$
$a \times b = b \times a$

Contoh:

• $2+3=3+2=5$
• $2 \times 3= 3 \times 2=6$

#3. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)

Sifat asosiatif pada bilangan bulat maksudnya hasil operasi akan tetap sama apabila kita kerjakan bagian kiri atau kanan terlebih dahulu jika diberikan 3 bilangan bulat. Sifat asosiatif pada bilangan bulat hanya berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat saja.

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat, maka sifat komutatif penjumlahan dan perkalian dirumuskan sebagai berikut.

$(a + b) + c = a + (b + c)
$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

Contoh: Berapa hasil dari $2+5+3$ dan $2 \times 5 \times 3$ ?

Jawab: Kita dapat mengerjakan masing-masing soal di atas dengan cara asosiatif kiri atau kanan karena hasilnya akan tetap sama.

1. Asosiatif Kiri:
• $(2+5)+3 = 7+3 = 10$
• $(2 \times 5) \times 3 = 10 \times 3 = 30$
2. Asosiatif Kanan:
• $2 + (5 + 3) = 2+8 = 10$
• $2 \times (5 \times 3) = 2 \times 15 = 30$

#4. Unsur Identitas

Terdapat $0$ dalam himpunan bilangan bulat dimana setiap bilangan bulat $a$ berlaku $a + 0 = 0 + a = a$.
Contoh:

• $2+0 = 0+2 = 2$
• $4 + 0 = 0 + 4 = 4$
• $7+0 = 0+7 =7$

sehingga $0$ disebut unsur atau elemen identitas terhadap operasi penjumlahan bilangan buat.

Terdapat $1$ dalam himpunan bilangan bulat dimana setiap bilangan bulat $a$ berlaku $a \times 1 = 1 \times a = a$.
Contoh:

• $2 \times 1 = 1 \times 2 = 2$
• $4 \times 1 = 1 \times 4 = 4$
• $7 \times 1 = 1 \times 7 =7$

sehingga $1$ disebut unsur atau elemen identitas terhadap perkalian bilangan buat.

#5. Sifat Invers (Balikan)

Invers artinya balikan. Invers dari bilangan itu adalah sesuatu yang jika dioperasikan dengan bilangan itu akan menghasilkan suatu identitas. Dalam himpunan bilangan bulat, kita memiliki $0$ sebagai unsur identitas penjumlahan dan $1$ sebagai unsur identitas perkalian.

Kita akan mengetahui invers dari suatu bilangan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian jika kita mengetahui apa unsur identitas masing-masing.

#Invers Bilangan terhadap Operasi Penjumlahan

Bilangan 3 jika dijumlahkan dengan -3 maka hasilnya 0. Jadi, invers dari 3 adalah -3 terhadap operasi penjumlahan. Begitupula sebaliknya, bahwa invers dari -3 adalah 3 terhadap operasi penjumlahan. Secara umum dirumuskan sebagai berikut.

Jika $a$ bilangan bulat maka invers dari a terhadap operasi penjumlahan adalah $-a$. Karena $-a$ merupakan bilangan bulat maka dalam himpunan bilangan bulat berlaku sifat invers terhadap operasi penjumlahan.

#Invers Bilangan terhadap Operasi Perkalian

Bilangan 3 jika dikalikan dengan $\frac{1}{3}$ maka hasilnya 1. Jadi, invers dari 3 adalah $\frac{1}{3}$ terhadap operasi perkalian. Begitupula sebaliknya, bahwa invers dari $\frac{1}{3}$ adalah 3 terhadap operasi perkalian. Secara umum dirumuskan sebagai berikut.

Jika $a$ bilangan bulat maka invers dari $a$ terhadap operasi perkalian adalah $\frac{1}{a}$. Karena $\frac{1}{a}$ bukan bilangan bulat (tetapi merupakan Bilangan Pecahan) maka dalam himpunan bilangan bulat tidak berlaku sifat invers terhadap operasi perkalian.

#6. Sifat Distributif (Penyebaran)

Sifat distributif pada bilangan bulat maksudnya hasil operasi akan tetap sama apabila kita distribusi bagian kiri atau kanan jika diberikan 3 bilangan bulat dengan dua operasi berbeda.

Sifat distributif pada bilangan bulat hanya berlaku pada operasi perkalian terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan saja.

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat, maka sifat distributif dirumuskan sebagai berikut.

#Sifat Distributif Kiri

• $a \times (b+c) = (a \times b) + (a \times c)$
• $a \times (b-c) = (a \times b) - (a \times c)$

#Sifat Distributif Kanan

• $(b+c) \times a = (b \times a) + (c \times a)$
• $(b-c) \times a = (b \times a) - (c \times a)$

Contoh: Berapa hasil dari $2(5+3)$ dan $(5-3)2$ ?

Jawab: Kita dapat mengerjakan masing-masing dengan terlebih dahulu mengerjakan operasi yang berada di dalam kurung, yaitu:

$2(5+3)= 2 \times 8 =16$
$(5-3)2 = 2 \times 2 =4$

Hasilnya sama jika kita menerapkan sifat distributif sebagai berikut.

#Asosiatif Kiri
$\begin{align} 2(5+3) &= (2 \times 5) + (2 \times 3) \\ &= 10+6 \\ &=16 \end{align}$

#Asosiatif Kanan
$\begin{align} (5-3)2 &= (5 \times 2) - (3 \times 2) \\ &= 10-6 \\ &= 4 \end{align}$

Demikianlah postingan "Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat", semoga bermanfaat.