Mengapa Akar 2 Termasuk Bilangan Irasional

Mengapa akar 2 termasuk bilangan irasional - Bilangan rasional adalah bagian dari bilangan real yang dapat dinyatakan sebagai pembagian dari dua bilangan bulat a dan b dimana $b \neq 0$.

Misalnya 0,5 adalah bilangan rasional karena dapat dinyatakan sebagai $\frac{1}{5}$.

Bilangan irasional adalah lawan dari bilangan rasional.

Apabila suatu bilangan real tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dari dua bilangan bulat a dan b dimana $b \neq 0$ maka bilangan tersebut adalah bilangan irasional (tak-rasional).

Contohnya adalah akar 2, mengapa akar 2 termasuk bilangan irasional?

Karena akar 2 tidak tidak dapat dinyatakan dalam pembagian a/b.

Pembuktian Akar 2 Bilangan Irasional

Untuk membuktikan akar 2 bilangan irasional sangat sulit jika kita membuktikannya secara langsung, yaitu dengan cara menunjukan bahwa tidak ada dua bilangan bulat a dan b dimana $b \neq 0$ sehingga $\frac{a}{b}$ menghasilkan nilai dari akar 2.

Untuk itu, cara yang bisa kita gunakan adalah pembuktian secara tidak langsung dengan menggunakan kontradiksi.

Bukti dengan kontradiksi bahwa $\sqrt{2}$ bilangan irasional adalah sebagai berikut.

Andaikan sebaliknya yaitu $\sqrt{2}$ bilangan rasional, maka terdapat p dan q dua bilangan bulat dengan p dan q memiliki FPB sama dengan 1 serta memenuhi $\frac{p^2}{q^2}=2$ atau $p^2=2q^2$.

Karena $2q^2$ dapat dibagi 2 maka $p^2$ juga dapat dibagi 2.

Akibatnya p dapat dibagi 2. Tulis p=2k maka $\begin{align}(2k)^2 &=2q^2 \\ \Leftrightarrow 4k^2 &=2q^2 \\ \Leftrightarrow 2k^2 &=q^2 \end{align}$

Oleh karena itu, q juga dapat dibagi 2.

Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa p dan q memiliki faktor persekutuan terbesar sama dengan 1.

Karena itu, $\sqrt{2}$ bukan bilangan rasional.

Dengan demikian terbukti bahwa akar 2 merupakan bilangan irasional.

Demikian pembahasan tentang Mengapa akar 2 termasuk bilangan irasional, semoga bermanfaat.