KETAKSAMAAN

Materi Ketaksamaan ini adalah materi yang dirangkum dalam matakuliah Kalkulus 1, yang merupakan materi pra-kalkulus. Sebelum mempelajari kalkulus, Anda harus mempelajari ketaksamaan ini.

Daftar Isi:

1. Penulisan Selang (Interval)
2. Menyelesaikan Ketaksamaan
• Bentuk Liear
• Bentuk Kuadrat
• Bentuk Pecahan
• Nilai Mutlak

#1. Penulisan Selang (Interval)

Untuk menyelesaikan suatu ketaksamaan berarti kita mencari semua hipunan bilangan yang membuat ketaksamaan berlaku.

Himpunan penyelesaian itu berupa suatu selang. Adapun penulisannya, sbb:

#2. Menyelesaikan Ketaksamaan

A. BENTUK LINEAR

Bentuk linear yaitu hanya mempunyai variabel berpangkat 1 dan jika digambarkan dalam sebuah grafik berupa garis lurus.

Contoh: Selesaikan $x-7 < 2x-5$

Penyelesaian:
$x - 7 < 2x -5 \\ x -2x < -5+7 \\ -x<2 \\ x >-2$

B. BENTUK KUADRAT

Fungsi kuadrat berbentuk $ax^2 +bx+c$ dengan $a \neq 0$

Contoh: Selesaikan $x^2 -x < 6$

Penyelesaian:
$x^2 - x < 6 \\ x^2 -x - 6 < 0 \\ (x-3)(x+2) \\ x < 3 \ atau \ x > -2$

C. BENTUK PECAHAN

Bentuk umum: $\frac{A(x)}{B(x)}$ < $\frac{C(x)}{D(x)}$, tanda < bisa diganti dengan tanda pertidaksamaan lain.

Adapun cara menyelesaikan pertidaksamaan bentuk pecahan adalah:

• Nyatakan persamaan sehingga di dapat salah satu ruasnya menjadi 0 (nol), yaitu: $\frac{A(x)}{B(x)} - \frac{C(x)}{D(x)} < 0$
• Sederhanakan ruas kiri, misal diperoleh $\frac{p(x)}{q(x)}$
  
• Tentukan titik-titik pemecah. Titik pemecah adalah nilai yang menyebabkan 0
• Ujilah titik-titik pada setiap selang dari titik-titik pemecah dan himpunan penyelesaiannya adalah interval yang membuat ketaksamaan berlaku.

Contoh: Selesaikan  $\frac{x-2}{x-1} > \frac{x+3}{x+1}$

Penyelesaian: $\frac{x-2}{x-1} > \frac{x+3}{x+1} \\ \frac{x-2}{x-1} - \frac{x+3}{x+1}>0 \\ \frac{-3x+1}{(x-1)(x+1)}>0$ 

Jadi titik-titik pemecahnya adalah $-1$, $1/3$, dan $1$.

Uji titik pada selang $(-\infty, -1)$ diperoleh hasil positif atau >0 ... (i) 

Uju titik pada selang $(-1 , 1/3 )$ diperoleh hasil negatif atau <0 ... (ii) 

Uji titik pada selang $(1/3, 1)$ diperoleh hasil positif atau >0      ... (iii) 

Uji titik pada selang $(1, \infty)$ diperoleh hasil negatif atau <0   ... (iv) 

Dengan demikian berdasarkan hasil titik uji tersebut kita simpulkan bahwa HP-nya adalah $(- \infty, -1) \cup (1/3, 1)$

D. NILAI MUTLAK

Nilai mutlak suatu bilangan real x dinyatakan dengan  $|x|$ didefinisikan sebagai : $|x| = x$ jika $x  > 0$ atau $x=0$ $|x| = -x$ jika $x < 0$ atau $x=0$ Sifat-sifat nilai mutlak

1. Jika $|x| < p$ maka himpunan penyelesaiannya $-p < x < p$,    $p > 0$
2. Jika $|x| > p$ maka himpunan penyelesaiannya $x < -p$ atau $x > p$,    $p>0$
3. Jika $|f(x)| < p$ maka himpunan penyelesaiannya $-p < f(x) < p$,    $p > 0$
4. Jika $|f(x)| > p$ maka himpunan penyelesaiannya $f(x) < -p$ atau $f(x) > p$,    $p>0$
5. $|x| = \sqrt{x^2}$
6. Jika $|f(x)|<|g(x)|$ maka ekuivalen dengan $[f(x)]^2 < [g(x)]^2$
7. Jika $|f(x)|>|g(x)|$ maka ekuivalen dengan $[f(x)]^2 > [g(x)]^2$
8. 
   
   
9. 
   

Contoh: Selesaikan $|3x-5| < 1$

Berdasarkan sifat ke-1 maka penyelesaiannya adalah $3x - 5 < -1$ atau $3x - 5 > 1$ $\Leftrightarrow$ $3x < 4$ atau $3x > 6$ $\Leftrightarrow$ $x < 4/3$ atau $x > 2$

Demikian postingan tentang ketaksamaan, semoga bermanfaat. Baca postingan selanjutnya dengan judul Sistem Koordinat 4 (Empat) Bidang.