Teorema-Teorema atau Sifat-sifat Grup

PELAJARAN KE-2: SIFAT-SIFAT GRUP

Setelah memahami Definisi Grup dan Cara Membuktikan Suatu Himpunan Beserta Operasinya adalah Grup atau tidak, sekarang marilah perhatikan teorema-teorema berikut. (Catatan: a*b selanjutnya cukup ditulis ab).

Teorema 1: Unsur identitas pada suatu grup bersifat tunggal.

BUKTI:  Untuk membuktikan bahwa unsur identitas grup tunggal, kita dapat menunjukkan bahwa jika dua objek memenuhi sifat identitas maka dua objek tersebut haruslah sama.

Misalkan G grup, dan $e_1, e_2 \in G$ merupakan unsur identitas pada G. Akan ditunjukkan $e_1=e_2$. Karena $e_1$ dan $e_2$ unsur identitas, maka untuk sebarang $a \in G$ berlaku:
$\begin{align*} &e_1a=a &\textbf{(1)} \\ &ae_2=a &\textbf{(2)} \end{align*}$

Dengan mengganti a pada persamaan (1) dan (2) secara berturut-turut dengan $e_2 $ dan $e_1$ diperoleh
$\begin{align} & e_1e_2=e_2 & \textbf{(3)} \\ & e_1e_2=e_1 & \textbf{(4)} \end{align}$

Berdasarkan persamaan (3) dan (4), diperoleh $e_1=e_2$. Jadi, terbukti bahwa unsur identitas pada grup bersifat tunggal.

Teorema 2: Invers anggota pada suatu grup bersifat tunggal.

BUKTI:  Ide yang digunakan dalam membuktikan teorema ini serupa dengan ide pada teorema sebelumnya. Tinjau sebuah anggota dari grup, misalnya x. Untuk membuktikan bahwa invers dari x bersifat tunggal, kita dapat menunjukkan bahwa jika dua objek merupakan invers dari x maka dua objek tersebut haruslah sama.

Misalkan G grup, dengan unsur identitas e. Ambil sebarang $a \in G$, dengan $b, \ c \in G$ merupakan invers dari a. Akan ditunjukkan b=c. Karena b dan c invers dari a, maka berlaku:
 $\begin{align} & ba=e & \textbf{(1)} \\ & ac=e & \textbf{(2)} \end{align}$

Perhatikan bahwa:
$\begin{align} b &= be & \text{[e unsur identitas]} \\ & = b(ac) & \text{[Berdasarkan (2)]} \\ &= (ba)c & \text{[Sifat asosiatif]} \\ &= ec & \text{[Berdasarkan (1)]} \\ &= c & \text{[e unsur identitas]} \end{align}$

Diperoleh b=c. Jadi, terbukti bahwa invers anggota pada suatu grup bersifat tunggal.

Baca juga: Memahami Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers

Teorema 3: Jika (G,*) adalah suatu Grup maka berlaku :

i) $(a^{-1})^{-1}=a$ untuk setiap $a \in G$

ii) $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ untuk setiap $a, b \in G$

Sebelum kita buktikan, pahami dulu maksudnya. Contoh Misal kita punya himpunan bilangan bulat (Z) anggotanya { . . . , -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, . . .} telah dibuktikan pada tulisan sebelumnya bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa (+) membentuk grup. Sekarang, karena (Z,+) grup maka berdasarkan Teorema 1 pasti sebarang anggota a di Z berlaku $(a^{-1})^{-1}=a$. 

Contoh a=3, invers penjumlahan dari a=3 adalah $a^{-1}=-3$. Kita lihat bahwa $(a^{-1})^{-1}=3$ karena invers penjumlahan dari -3 adalah 3.

Untuk yang bagian ii), kita coba misalkan a=3 dan b=4 maka $(a+b)^{-1}=-b+(-a)=-4+(-3)=-7$. Ternyata benar, invers penjumlahan dari (3+4) adalah -7.

Catatan: $a^{-1}=-a$ karena operasi yang kita gunakan adalah operasi + biasa. Kalau operasi yang kita gunakan adalah perkalian biasa (x) maka $a^{-1}=1/a$.

Bukti Teorema 3:

i) Karena (G, *) Grup maka perhatikan:

$(a^{-1})^{-1}*a^{-1}=e$ dan pada sisi lainnya $a*a^{-1}=e$, dari sini kita simpulkan $(a^{-1})^{-1}=a$.

ii Karena (G,*) grup maka:
$1) \ (a*b)^{-1}*(a*b)=e$
$ \begin{align*} 2) \ (b^{-1}*a^{-1})*(a*b) &= b^{-1}*(a^{-1}*a)*b \\ &= b^{-1}*e*b \\ &=(b^{-1}*e)*b \\ &=b^{-1}*b \\ &=e \end{align*}$.

Jadi berdasarkan 1) dan 2) $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.

Teorema 4Misalkan G grup dan a, b, c sebarang anggota dari G. 

a. Jika ab=ac maka b=c. 
b. Jika ba=ca maka b=c. 

BUKTI: Misalkan G grup. Ambil sebarang $a,b,c \in G$. 

Bagian a. Diketahui ab=ac. Akan dibuktikan b=c. Perhatikan bahwa 
 $\begin{align} ab &= ac \\ a^{-1}(ab) &= a^{-1}(ac) \\ (a^{-1}a)b &= (a^{-1}a)c &\text{[Sifat asosiatif]} \\ eb &= ec &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\ b &= c &\text{[e unsur identitas]} \end{align}$  
Terbukti. 

Bagian b. Diketahui ba=ca. Akan dibuktikan b=c. Perhatikan bahwa 
$\begin{align} ba &= ca \\ (ba)a^{-1} &= (ca)a^{-1} \\ b(aa^{-1}) &= c(aa^{-1}) & \text{[Sifat asosiatif]} \\ be &= ce & [a^{-1} \text{ invers dari a]} \\ b &= c & \text{[e unsur identitas]} \end{align}$  
Terbukti. 

Catatan: Teorema terakhir ini disebut sebagai hukum pembatalan (Cancellation Law). Dalam bahasa yang lebih sederhana, jika ab=ac maka unsur a yang ada pada sebelah kiri setiap ruas dapat dicoret. Secara berturut-turut, bagian a dan b dari teorema ini disebut hukum pembatalan kiri dan kanan.

Baca juga: Memahami Hukum Pencoretan

Catatan: Pembahasan tulisan Teorema 1, 2, dan 4, saya kutip dari web kimiamath.com.

0 Response to "Teorema-Teorema atau Sifat-sifat Grup "

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Apakah Anda ingin PINTAR MATEMATIKA?  Ayo Belajar Matematika dari dasar! Baca Ebook Belajar Matematika dari Dasar.

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

Mau jual Ebook di Google Play, tapi belum punya akun mitra google book? Baca Cara Daftar Mitra Google Buku yang Sementara Ditutup: Saya Berkali-kali Diterima Lho