Sifat Perkalian dengan Nol pada Bilangan Real (Bukti a.0=0)

Sifat Perkalian dengan Nol pada Bilangan Real yaitu setiap bilangan real jika dikali dengan 0 maka hasilnya adalah 0. Kita akan membuktikan pernyataan ini. Sebelum membuktikan $a.0=0$ untuk setiap $a \in R$, saya ingatkan lagi tentang Sifat-sifat Aljabar Bilangan Real berikut ini.

Pada bilangan real, terdapat dua operasi biner, yaitu penjumlahan $(+)$ dan perkalian $(×)$. Kedua operasi ini memenuhi sifat-sifat.

1. Komutatif yaitu $a+b=b+a$ dan $a×b=b×a$ untuk setiap a dan b bilangan real.
2. Asosiatif yaitu $(a+b)+c=a+(b+c)$ dan $(a×b)×c=a×(b×c)$.
3. Terdapat 0 sebagai unsur identitas terhadap operasi penjumlahan karena untuk setiap a bilangan real berlaku $a+0=a$ dan $0+a=a$.
4. Terdapat 1 sebagai unsur identitas terhadap operasi perkalian karena untuk setiap a bilangan real berlaku  $a×1=a$ dan $1×a=a$.
5. Terdapat unsur invers (balikan) baik invers terhadap operasi + maupun operasi ×. Invers a terhadap operasi + adalah $-a$ karena $a+(-a)=0$ dan $(-a)+a=0$ sedangkan invers a terhadap operasi × adalah $1/a$ dengan syarat $a \neq 0$ karena $a × (1/a)=1$ dan $(1/a) × a=1$.
6. Distributif yaitu $a(b+c)=ab+ac $ dan $(b+c)a=ba+ca$.

$\begin{align} a+a.0 &= a.1 + a.0 \\ & = a (1+0) \\ & = a (1) \\ &= a \end{align}$

Dari kesamaan di atas, kita peroleh $a+a.0=a$. Hal ini dapat terjadi apabila $a.0=0$ sesuai dengan teorema berikut ini.

"Bila z dan a unsur di R sehingga z+a=a maka z=0"

Bukti:

$\begin{align} z+a &= a \\ (z+a)+(-a) &= a+(-a) \\ z+(a+(-a)) &= 0 \\ z+0 &= 0 \\ z &= 0 \end{align}$ 

Gambar Angka Nol

Demikianlah postingan ini dengan judul  Sifat Perkalian dengan Nol pada Bilangan Real. Semoga bermanfaat.