Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak

Oleh Anonim (Diperbarui: 31/08/2022) - Posting Komentar

Misalkan segitiga ABC memiliki panjang sisi AB, BC, dan CD maka $AB < BC+CD $. Begitu juga $BC < AB+CD $ dan $CD < AB+BC $, yang artinya, penjumlahan dua sisi segitiga akan melebihi sisi ketiga yang lainnya. Adapun ketaksamaan segitiga dalam bentuk nilai mutlak adalah sebagai berikut.

Jika $a,b, \in \mathbb{R}$ , maka $|a+b|\leqslant|a|+|b|$

Bukti :

Kita gunakan $-|a|\leqslant a\leqslant |a|$ dan $-|b|\leqslant b\leqslant |b|$ untuk membuktikan ketaksamaan segitiga di atas. Dengan menjumlahkan kedua ketaksamaan tersebut diperoleh:

$-(|a|+|b|)\leqslant a+b \leqslant |a|+|b|$ .

Dari sini, dengan menggunakan $|x| \le c \Leftrightarrow -c \le x \le c$ maka kita peroleh $|a+b| \leqslant |a|+|b|$ (terbukti).

Sekarang kita buktikan untuk $-|a|\leqslant a\leqslant |a|$ (setara dengan $-|b|\leqslant b\leqslant |b|$ ) di bawah ini.

Misalkan $|a| \le c $ maka $-c \le a \le c $. Dengan menerapkan |a|=c maka $-|a| \le a \le |a|$.

Akibat dari Ketaksamaan segitiga diatas adalah:

1. $|a|-|b| \leqslant |a-b|$

2. $|a-b| \leqslant|a|+|b|$

Bukti 1. $|a|-|b| \leqslant |a-b|$

Kita tulis $a=a-b+b$ . Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga diperoleh:

$|a|=|(a-b)+b| \leqslant |a-b|+|b|$ .

Kemudian kita kurangi dengan $|b|$ sehingga kita dapatkan $|a|-|b| \leqslant|a-b|$ .

Bukti 2. $|a-b|\leqslant|a|+|b|$

Gantilah $b$ pada Ketaksamaan Segitiga dengan –b, sehingga diperoleh $|a-b| \leqslant |a|+|-b|$ . Karena $|-b|=b$ maka diperoleh bahwa $|a-b|\leqslant |a|+|b|$ .