Definisi Determinan Matriks n×n dan Contoh Soalnya

Determinan dari Matriks n×n - Untuk setiap matriks persegi, kita dapat mengasosiasikan suatu bilangan real yang disebut determinan dari matriks tersebut.

Sudah tahukan apa itu matriks persegi? Matriks yang banyak baris dan kolomnya sama. Sikahkan buka 8+ Jenis-jenis Matriks Beserta Contohnya.

Nilai dari bilangan ini akan menunjukkan kepada kita apakah matriks tersebut taksigular atau tidak.

Matriks taksingular adalah matriks yang memiliki nilai determinan tidak sama dengan 0. Apabila suatu matriks adalah matriks taksingular maka matriks tersebut dapat dibalik atau memiliki invers yang disebut dengan matriks invers.

Oleh karena itu, kita akan membahas bagaimana menentukan determinan matriks ordo n×n dimana n=1, 2, 3, ..., n sesuai dengan definisinya.

Determinan dari Matriks n×n

DEFINISI. Determinan dari suatu matriks $A$ berorde n×n, dinyatakan sebagai $det(A)$ atau $|A|$, adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks A dan didefinisikan secara induktif sebagai:

$$|A|=\begin{cases} a_{11} & \mbox{jika n=1} \\ a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+...+a_{1n}A_{1n} & \mbox{jika n>1} \end{cases}$$

dimana

$$A_{1j}=(-1)^{1+j}det(M_{1j})$$

dengan $j=1,...,n$ adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari A.

$M_{ij}$ menyatakan matriks (n-1)×(n-1) yang diperoleh dari matriks A dengan menghapus entri pada baris ke-i dan kolom ke-j. Silahkan buka apa dan cara menentukan Minor dan Kofaktor Matriks.

TEOREMA EKSPANSI KOFAKTOR

Jika A suatu matriks n×n dengan $n \ge 2$, maka det(A) dapat dinyatakan sebagai ekspansi kofaktor dengan menggunakan sembarang baris atau kolom dari A.

Determinan Matriks 1×1

Jika A=(a) adalah matriks 1×1, maka determinan dari matriks A (berdasarkan definisi) adalah |A|=a.

Contoh: Jika A matriks 1×1, misalnya A=[4] maka det(A)=4.

Determinan Matriks 2×2

Misalkan $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}$ maka determinan dari matriks A (berdasarkan definisi) adalah:

$\begin{align} |A| & = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12} \\ & = a_{11}(-1)^{1+1}|M_{11}| + a_{12}(-1)^{1+2}|M_{12}| \\ & = a_{11}(1)|M_{11}| + a_{12}(-1)|M_{12}| \\ & = a_{11}|M_{11}| - a_{12}|M_{12}| \\ & = a_{11}|a_{22}| - a_{12}|a_{21}| \\ & = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{align}$

Contoh Soal Determinan Matriks 2×2

Misalnya $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$

Maka determinan dari matriks A tersebut adalah:

$\begin{align} |A| & = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \\ & = 2(3)-4(1) \\ & = 6-4 \\ & = 2 \end{align}$

Jadi, determinan dari matriks A adalah 2.

Determinan Matriks 3×3

Misalnya $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}$ maka determinan dari matriks A (berdasarkan definisi) adalah:

$\begin{align} |A| & = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} \\ & = a_{11}(-1)^{1+1}|M_{11}| + a_{12}(-1)^{1+2}|M_{12}|+ a_{13}(-1)^{1+3}|M_{13}| \\ & = a_{11}(1)|M_{11}| + a_{12}(-1)|M_{12}|+ a_{13}(1)|M_{13}| \\ & = a_{11}|M_{11}| - a_{12}|M_{12}|+ a_{13}|M_{13}| \\ & = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix}+ a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{22} \\ \end{vmatrix} \end{align}$

Contoh Soal Determinan Matriks 3×3

Misalnya $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ \end{bmatrix}$

Determinan dari matriks $A$ (berdasarkan ekspansi sepanjang kolom pertama) adalah:

$\begin{align} |A| & = 1\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \\ \end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \\ \end{vmatrix} \\ & = 1(0-2) - 0(0-(-2)) + 1(2-1) \\ & = -2 - 0 + 1 \\ & = -1 \end{align}$

Bandingkan penyelesaian soal ini dengan Determinan Matriks 3×3 Metode Sarrus.

Determinan Matriks 4×4

Misalnya $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{bmatrix}$ maka determinan dari matriks A (berdasarkan definisi) adalah:

$\begin{align} |A| & = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{14}A_{14} \\ & = a_{11}(-1)^{1+1}|M_{11}| + a_{12}(-1)^{1+2}|M_{12}|+ a_{13}(-1)^{1+3}|M_{13}|+ a_{14}(-1)^{1+4}|M_{14}| \\ & = a_{11}(1)|M_{11}| + a_{12}(-1)|M_{12}|+ a_{13}(1)|M_{13}|+ a_{14}(-1)|M_{14}| \\ & = a_{11}|M_{11}| - a_{12}|M_{12}|+ a_{13}|M_{13}|-a_{14}|M_{14}| \end{align}$

Contoh Soal Determinan Matriks 4×4

Misalnya $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$

Berdasarkan teorema sebelumnya, kita dapat memilih baris atau kolom untuk ekspansi kofaktor.

Agar mengurangi banyak perhitungan, kita memilih baris atau kolom yang mengandung 0 paling banyak, sehingga kita memilih ekspansi sepanjang kolom pertama.

Determinan dari matriks $A$ dengan ekspansi sepanjang kolom pertama adalah sebagai berikut.

$|A|=a_{11}|M_{11}| - a_{21}|M_{21}| + a_{31}|M_{31}|-a_{41}|M_{41}|$

$|A|=0|M_{11}| - 0|M_{21}| + 0|M_{31}|-2|M_{41}|$

Jadi, kita hanya menghitung -2|M_{41}|. Kemudian, kita lakukan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-3 untuk menghitung $|M_{41}|$, sebagai berikut.

$-2 \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ \end{vmatrix}$

$= -2.3. \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ \end{vmatrix}$

$=12$

Demikian Determinan dari Matriks n×n, semoga bermanfaat.