Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Rumus limit fungsi trigonometri yang akan dibuktikan di sini adalah rumus yang biasa digunakan untuk menyelesaikan soal-soal limit fungsi trigonometri di bangku sekolah setingkat SMA/sederajat. Rumus tersebut adalah sebagai berikut.

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=1$

Dengan rumus limit fungsi ini, kita dapat membuktikan pula rumus limit fungsi trigonometri berikut ini.

1. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x}=1$
2. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x}=1$
3. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x}=1$

• Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=1$

Sudah banyak sekali yang membahas pembuktiannya dengan menggunakan lingkaran satuan baik di buku-buku matematika sekolah maupun di buku-buku lain. Kalian juga dapat menemukan pembuktiannya di blog-blog matematika yang ada. Untuk itu, saya menggunakan cara yang lain saja agar dapat menambah pengetahuan bagi pembaca, yaitu dengan menggunakan Dalil atau Teorema L’Hopital untuk bentuk tak-tentu 0/0 yang buktinya dapat dibaca pada tulisan Bukti Teorema L’Hopital. Dalil ini baru akan dipelajari bagi mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus. Bunyi teorema tersebut adalah sebagai berikut.

Andaikan $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x)=0$. Jika $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$ ada, baik dalam pengertian terhingga atau tak-terhingga, maka $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$.

Contoh: Gunakan aturan L’Hopital untuk membuktikan $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=1$

Karena $\lim_{x \rightarrow 0} sin \ x=0$ dan $\lim_{x \rightarrow 0} x=0$, menurut aturan L’Hopital maka

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{D_x sin \ x}{D_x x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos \ x}{1} \\ &= \frac{cos \ (0)}{1} \\ &= \frac{1}{1} \\ &=1 \end{align}$

• Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x}=1$

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{sin \ x}{x}} \\ &= \frac{1}{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x} } \\ &= \frac{1}{1} \\ &=1 \end{align}$

• Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x}=1$

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x \ cos \ x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{sin \ x}{x} }{ cos \ x} \\ &= \frac{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x} }{ \lim_{x \rightarrow 0}  \ cos \ x} \\ &= \frac{1}{1} \\ &=1 \end{align}$

• Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x}=1$

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{ \frac{ tan \ x}{x}} \\ &= \frac{1}{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ tan \ x}{x}} \\ &= \frac{1}{1} \\ &=1 \end{align}$

---

Referensi: Kalkulus Koko Martono dan Kalkulus Purcell Jilid 2