Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Rumus limit fungsi trigonometri yang akan dibuktikan di sini adalah rumus yang biasa digunakan untuk menyelesaikan soal-soal limit fungsi trigonometri di bangku sekolah setingkat SMA/sederajat. Rumus tersebut adalah sebagai berikut.

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=1$

Dengan rumus limit fungsi ini, kita dapat membuktikan pula rumus limit fungsi trigonometri berikut ini.

  1. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x}=1$
  2. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x}=1$
  3. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x}=1$
  • Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=1$

Sudah banyak sekali yang membahas pembuktiannya dengan menggunakan lingkaran satuan baik di buku-buku matematika sekolah maupun di buku-buku lain. Kalian juga dapat menemukan pembuktiannya di blog-blog matematika yang ada. Untuk itu, saya menggunakan cara yang lain saja agar dapat menambah pengetahuan bagi pembaca, yaitu dengan menggunakan Dalil atau Teorema L’Hopital untuk bentuk tak-tentu 0/0 yang buktinya dapat dibaca pada tulisan Bukti Teorema L’Hopital. Dalil ini baru akan dipelajari bagi mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus. Bunyi teorema tersebut adalah sebagai berikut.

Andaikan $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x)=0$. Jika $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$ ada, baik dalam pengertian terhingga atau tak-terhingga, maka $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$.

Contoh: Gunakan aturan L’Hopital untuk membuktikan $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=1$

Karena $\lim_{x \rightarrow 0} sin \ x=0$ dan $\lim_{x \rightarrow 0} x=0$, menurut aturan L’Hopital maka

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{D_x sin \ x}{D_x x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos \ x}{1} \\ &= \frac{cos \ (0)}{1} \\ &= \frac{1}{1} \\ &=1 \end{align}$

  • Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x}=1$

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{sin \ x}{x}} \\ &= \frac{1}{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x} } \\ &= \frac{1}{1} \\ &=1 \end{align}$

  • Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x}=1$

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x \ cos \ x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{sin \ x}{x} }{ cos \ x} \\ &= \frac{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x} }{ \lim_{x \rightarrow 0}  \ cos \ x} \\ &= \frac{1}{1} \\ &=1 \end{align}$

  • Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x}=1$

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{ \frac{ tan \ x}{x}} \\ &= \frac{1}{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ tan \ x}{x}} \\ &= \frac{1}{1} \\ &=1 \end{align}$


Referensi: Kalkulus Koko Martono dan Kalkulus Purcell Jilid 2

0 Response to "Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri"

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Apakah Anda ingin PINTAR MATEMATIKA?  Ayo Belajar Matematika dari dasar! Baca Ebook Belajar Matematika dari Dasar.

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

Mau jual Ebook di Google Play, tapi belum punya akun mitra google book? Baca Cara Daftar Mitra Google Buku yang Sementara Ditutup: Saya Berkali-kali Diterima Lho