Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Rumus limit fungsi trigonometri yang akan dibuktikan di sini adalah rumus yang biasa digunakan untuk menyelesaikan soal-soal limit fungsi trigonometri di bangku sekolah setingkat SMA/sederajat. Rumus tersebut adalah sebagai berikut.

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=1$

Dengan rumus limit fungsi ini, kita dapat membuktikan pula rumus limit fungsi trigonometri berikut ini.

  1. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x}=1$
  2. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x}=1$
  3. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x}=1$
  • Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=1$

Sudah banyak sekali yang membahas pembuktiannya dengan menggunakan lingkaran satuan baik di buku-buku matematika sekolah maupun di buku-buku lain. Kalian juga dapat menemukan pembuktiannya di blog-blog matematika yang ada. Untuk itu, saya menggunakan cara yang lain saja agar dapat menambah pengetahuan bagi pembaca, yaitu dengan menggunakan Dalil atau Teorema L’Hopital untuk bentuk tak-tentu 0/0 yang buktinya dapat dibaca pada tulisan Bukti Teorema L’Hopital. Dalil ini baru akan dipelajari bagi mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus. Bunyi teorema tersebut adalah sebagai berikut.

Andaikan $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x)=0$. Jika $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$ ada, baik dalam pengertian terhingga atau tak-terhingga, maka $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$.

Contoh: Gunakan aturan L’Hopital untuk membuktikan $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=1$

Karena $\lim_{x \rightarrow 0} sin \ x=0$ dan $\lim_{x \rightarrow 0} x=0$, menurut aturan L’Hopital maka

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{D_x sin \ x}{D_x x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos \ x}{1} \\ &= \frac{cos \ (0)}{1} \\ &= \frac{1}{1} \\ &=1 \end{align}$

  • Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x}=1$

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{sin \ x}{x}} \\ &= \frac{1}{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x} } \\ &= \frac{1}{1} \\ &=1 \end{align}$

  • Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x}=1$

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x \ cos \ x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{sin \ x}{x} }{ cos \ x} \\ &= \frac{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x} }{ \lim_{x \rightarrow 0}  \ cos \ x} \\ &= \frac{1}{1} \\ &=1 \end{align}$

  • Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x}=1$

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{ \frac{ tan \ x}{x}} \\ &= \frac{1}{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ tan \ x}{x}} \\ &= \frac{1}{1} \\ &=1 \end{align}$


Referensi: Kalkulus Koko Martono dan Kalkulus Purcell Jilid 2

Berlangganan update artikel terbaru via email:

0 Response to "Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri"

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Buku Belajar Matematika dari Dasar
Cara Pintar & Mudah Belajar Matematika untuk SMP, SMA, Mahasiswa, atau Umum.
https://buku.matematikakubisa.biz.id
Tumbler Termos Bisa Cek Suhu Air
Cocok untuk Minuman Kopi dan Teh. Bisa Custom Nama Anda.
https://tumbler.fradsyastore.web.id
PASANG IKLAN DI SINI
Cuma 50Rb/bulan, Iklan Anda Bisa Tayang ke 100 Orang Lebih dalam Sehari.
Url Iklan Anda

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

Kaos Rumus Matematika
Jangan Ngaku Pencinta Matematika, Kalau Belum Punya Kaos Keren Ini!!!
https://cp.matematikakubisa.biz.id
Hoodie Kopi Glow In The Dark
JANGAN NGAKU sebagai Tukang Ngopi kalo belum punya hoodie sekeren ini ya!!! Hasil sablonnya bisa menyala dalam gelap.
https://hoodie.fradsyastore.web.id
PASANG IKLAN DI SINI
Cuma 40Rb/bulan, Iklan Anda Bisa Tayang ke 100 Orang Lebih dalam Sehari.
Url Iklan Anda
Buku Belajar Matematika dari Dasar
"Matematika merupakan pelajaran yang membutuhkan pemahaman konsep yang baik, berjenjang, saling berkaitan, dan berkelanjutan. ... [Read More]
https://buku.matematikakubisa.biz.id


Buku Belajar Matematika dari Dasar

Buku ini direkomendasikan untuk orang yang ingin pintar Matematika yang mengalami kesulitan belajar Matematika. Berisi rangkuman rumus Matematika SMP dan SMA, hingga materi pengantar Matematika Dasar di Perguruan Tinggi. Sangat direkomendasikan untuk Anda gunakan saat mengajar karena bukunya ringkas dan padat, sehingga mudah digunakan dan dibawa kemana-mana.

STOK TERBATAS. PESAN SEKARANG
Order Di Sini